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Ideale: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:54 Di 13.12.2016
Autor: nightsusi

Aufgabe
Seien [mm] R=\IZ [/mm] ein kommutativer Ring und [mm] I=m\IZ ,J=n\IZ [/mm] zwei Ideale, wobei [mm] m,n\ge2 [/mm] zwei verschiedene  ganze Zahlen sind.

Bestimmen Sie I+J, I [mm] \cap [/mm] J und I*J
Wann gilt IJ=I+J

Hallo zusammen, ich habe mir bis jetzt folgendes gedacht:

[mm] I\cap [/mm] J:
Der Schnitt [mm] m\IZ \cap n\IZ [/mm] zweier Hauptideale in [mm] \IZ [/mm] besteht aus den Zahlen, die sowohl Vielfache von m als auch von n sind.
D.h. [mm] I\cap [/mm] J ist die Menge dergemeinsamen Vielfachen von m und n.

I + J:
Ich weiß, dass eine Zahl [mm] g\in \IZ [/mm] die Eigenschafts des ggT von m und n hat, genau dann wenn g ein Erzeugendes der gruppe [mm] m\IZ+n\IZ [/mm] ist.
Somit gilt: [mm] m\IZ+n\IZ=g\IZ, [/mm] wobei g=ggT(m,n)
D.h. I+J der ggT von m und n.

Meine erste Frage: Kann ich das so machen? und dann meine zweite Frage, wie kann ich I*J interpretieren, ich weiß, dass für [mm] s\in [/mm] I*J gilt:
[mm] s=\summe_{i=1}^{n}x_i*y_i [/mm] mit [mm] x_i \in [/mm] I und [mm] y_i \in [/mm] J

Wäre lieb wenn Ihr mir da weiter helfen könntet.
LG Susi


        
Bezug
Ideale: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:05 Di 13.12.2016
Autor: sandroid

Hallo Susi,

ich schaue gerade zufaellig nach langer Zeit einmal wieder rein, und denke, dass ich da helfen kann.

Deine Antworten zu $I + J$ und $I [mm] \cap [/mm] J$ sehen gut aus. Vielleicht: Wie kannst du die Menge der gemeinsamen Vielfachen formal ausdruecken? (Tipp: Benutze kgV)

Zu $IJ$: $IJ = [mm] \{ x \cdot m \cdot y \cdot n : x,y \in \mathbb{Z} \} [/mm] =  [mm] \{ x \cdot y \cdot m \cdot n : x,y \in \mathbb{Z} \} [/mm] =  [mm] \{z \cdot m \cdot n : z \in \mathbb{Z} \}$, [/mm] also ist das doch wieder ein Ideal! Oder habe ich das falsch verstanden und * ist bei dir eine andere Operation?

Gruss,
Sandro


Bezug
                
Bezug
Ideale: weitere Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:56 Mi 14.12.2016
Autor: nightsusi

Aufgabe
Seien R ein kommutativer Ring, I,J zwei Ideale.
Seien [mm] M\subset [/mm] R eine Menge und [mm] S_M=\{L|M\subset L, L \mbox{ ist ein Ideal in } R\}. [/mm] Zeigen Sie: [mm] (M)=\bigcap_{L\in S_M}^{}L. [/mm]

>

> Oder habe ich das
> falsch verstanden und * ist bei dir eine andere Operation?
>  

Nein * ist die "ganz normale" Multiplikation :-)




Erstmal vielen Dank für die Rückmeldung, damit bin ich schon ein gutes Stück weitergekommen. DANKE!

Aber jetzt hänge ich beim obigen Aufgabenteil und hab so recht gar keinen Ansatz wie ich die Aufgabe beweisen kann. Vielleicht könnt Ihr mir da weiter helfen.

Liebe Grüße



Bezug
                        
Bezug
Ideale: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:12 Mi 14.12.2016
Autor: hippias

Es ist ja eine Mengengleichheit zu zeigen, daher zeigst Du, dass die Menge auf der linken Seite in der, auf der rechten Seite enthalten ist und umgekehrt.

Wie ist die Definition von $(M)$?

Bezug
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