Ideale maximale prim < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:27 Mi 08.03.2006 | | Autor: | cycilia |
Sehe ich das richtig? Wenn ich den Ring [mm] \IZ/m \IZ [/mm] betrachte mit m [mm] \in \IN
[/mm]
dann haben alle Ideale die Form (Restklasse von l) mit l teilt m ? Die Primideale entsprechen genau den Idealen über Primzahlen in diesen Ring? Wie kann ich den Ring bestimmen, der sich ergibt wenn ich z.B. [mm] \IZ/m \IZ/l \IZ [/mm] habe ?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:07 Mi 08.03.2006 | | Autor: | felixf |
> Sehe ich das richtig? Wenn ich den Ring [mm]\IZ/m \IZ[/mm]
> betrachte mit m [mm]\in \IN[/mm]
> dann haben alle Ideale die Form
> (Restklasse von l) mit l teilt m ?
Ja. Wobei man das eigentlich genauer formulieren muss: Zu jedem Ideal in [mm] $\IZ/m\IZ$ [/mm] gibt es ein [mm] $\ell \in \IN$, [/mm] welches $m$ teilt und wessen Restklasse das Ideal erzeugt.
> Die Primideale entsprechen genau den Idealen über Primzahlen in diesen
> Ring?
Du meinst, das [mm] $\ell$ [/mm] oben ist eine Primzahl? Genau.
> Wie kann ich den Ring bestimmen, der sich ergibt wenn
> ich z.B. [mm]\IZ/m \IZ/l \IZ[/mm] habe ?
Du meinst [mm] $(\IZ/m\IZ) [/mm] / [mm] \bar{\ell} (\IZ/m\IZ)$, [/mm] wobei [mm] $\bar{\ell}$ [/mm] die Restklasse von [mm] $\ell$ [/mm] ist?
Schau dir mal die Isomorphiesaetze an. Einer davon hilft dir weiter 
(Wenn du sie nicht kennst, sag Bescheid.)
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:17 Do 09.03.2006 | | Autor: | cycilia |
DANKE. Die zweite Frage war nur interessehalber, Aufgaben hatten wir dazu nicht. Ich kenne die Isomophiesätze, habe mich aber noch nicht genauer mit ihnen beschäftigt, da in den letzten 10 Jahren weder in Übungsaufgaben noch in Klausuren irgendeine Frage/Aufgabe dazu auftauchte. Aber dann werd ich mich am Wochenende mal genauer damit befassen. Leider brauche ich oft recht lange, mich in Mathesätze herein zu lesen.... ist auch "nur" Nebenfach bei mir.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:17 Do 09.03.2006 | | Autor: | cycilia |
Ich habe noch Probleme den Unterschied zwischen maximalen Idealen und Primidealen zu sehen.
- jedes maximale Ideal ist ein Primideal, also sind die maximalen Ideale eine Teilmenge der Primideale.
- angenommen, ich habe den Ring [mm] \IZ/84 \IZ [/mm] => dort habe ich die Primideale [mm] (\bar [/mm] 3) [mm] (\bar [/mm] 7) [mm] (\bar [/mm] 2)
- sind das dann auch schon die maximalen Ideale?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:54 Do 09.03.2006 | | Autor: | felixf |
> Ich habe noch Probleme den Unterschied zwischen maximalen
> Idealen und Primidealen zu sehen.
>
> - jedes maximale Ideal ist ein Primideal, also sind die
> maximalen Ideale eine Teilmenge der Primideale.
Genau.
>
> - angenommen, ich habe den Ring [mm]\IZ/84 \IZ[/mm] => dort habe
> ich die Primideale [mm](\bar[/mm] 3) [mm](\bar[/mm] 7) [mm](\bar[/mm] 2)
Genau.
> - sind das dann auch schon die maximalen Ideale?
Ja. In diesem Ring sind bereits alle Primideale maximal. (In endlichen Ringen ist das immer der Fall, aber auch in manchen unendlichen Ringen.) Wenn du ein Beispiel suchst, wo das nicht der Fall ist, nimm [mm] $\IZ$: [/mm] das Ideal $(0)$ ist prim (da [mm] $\IZ/(0) \cong \IZ$ [/mm] ein Integritaetsring ist), aber nicht maximal.
'Kompliziertere Beispiele' kannst du zum Beispiel in [mm] $\IZ[x]$ [/mm] finden (etwa $(x)$ oder $(p)$ mit $p$ einer Primzahl), oder in $k[x, y]$ wobei $k$ irgendein Koerper ist (etwa $(x)$ oder $(y)$).
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:56 Do 09.03.2006 | | Autor: | cycilia |
Danke, genau dadrauf bin ich mit der Def. nämlich auch gekommen und hab mich gewundert und mich gefragt, ob ich das so richtig verstanden hatte - dann ist das klar!
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