Ideale von Rechtsnebenklassen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:18 So 06.12.2009 | | Autor: | Dannni |
| Aufgabe | Sei R der Restklassenring [mm] $\IR[x]/p(x)$, [/mm] wobei [mm] $p(x)=(x^3-1)$ [/mm] ist.
a) Man bestimme alle Ideale von R. |
Hallo Ihr,
ich habe irgendwie Probleme bei der Bestimmung aller Ideale über dem Restklassenring [mm] \IR[x]/p(x). [/mm] Es ist klar, das die Restklasse selbst ein Ideal ist und das Nullpolynom. Aber welche gibt es noch? Müssten nicht theoretisch Polynome mit kleinerem Grad als p(x) mögliche Ideale erzeugen?
Die Menge ist ja wie folgt definiert: [mm] \IR[x]/p(x) [/mm] = {r(x) + p(x) | r(x) [mm] \in \IR[x]}. [/mm] Die Definition eines Ideals ist auch klar, nur habe ich echt Probleme mir das vorzustellen. In [mm] \IZ_{35} [/mm] oder so ist es ja ganz einfach... Wie muss ich da rangehen?
Vielen Dank schon einmal für Eure Mühe!
MfG
Daniel
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:26 So 06.12.2009 | | Autor: | Dannni |
| Aufgabe | kleiner nachtrag: p(x) = [mm] x^3 [/mm] - 1.
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sorry, kenne die syntax noch nicht so gut...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:03 So 06.12.2009 | | Autor: | Dannni |
Also für alle Elemente aus dem Ideal muss doch gelten, da $ [mm] \IR[x]/p(x) [/mm] $ ein Restklassenring ist, für $ r, s [mm] \in \IR[x] [/mm] $:
$ (p(x) + r) + (p(x) + s) = p(x) + (r + s) $
und
$ (p(x) + r) * (p(x) + s) = p(x) + (r * s) $
Müssten dann nicht die Ideale höchstens den Grad 1 haben? also z.B. (a*x) oder (a*x+b*1) Ideale? wobei die Koeffizienten aus ganz $ a, b [mm] \in \IR [/mm] $ kommen könnten?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:40 So 06.12.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Also für alle Elemente aus dem Ideal muss doch gelten, da
> [mm]\IR[x]/p(x)[/mm] ein Restklassenring ist, für [mm]r, s \in \IR[x] [/mm]:
>
> [mm](p(x) + r) + (p(x) + s) = p(x) + (r + s)[/mm]
Du meinst mit $p(x)$ hier das von $p(x)$ erzeugte Ideal! Du solltest also eigentlich schreiben:
[mm] $(\langle [/mm] p(x) [mm] \rangle [/mm] + r) + [mm] (\langle [/mm] p(x) [mm] \rangle [/mm] + s) = [mm] \langle [/mm] p(x) [mm] \rangle [/mm] + (r + s)$.
> und
>
> [mm](p(x) + r) * (p(x) + s) = p(x) + (r * s)[/mm]
Hier analog.
> Müssten dann nicht die Ideale höchstens den Grad 1 haben?
Die Ideale sind keine Restklassen, sondern Mengen von Restklassen.
In [mm] $\IZ[x]/(x^2)$ [/mm] ist z.B. das von $x + [mm] (x^2)$ [/mm] erzeugte Ideal ein Ideal. Das Element $x + [mm] (x^2)$ [/mm] dagegen ist kein Ideal.
LG Felix
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:31 So 06.12.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Daniel!
> Sei R der Restklassenring [mm]\IR[x]/p(x)[/mm], wobei [mm]p(x)=(x^3-1)[/mm]
> ist.
>
> a) Man bestimme alle Ideale von R.
Schau auch mal hier.
> ich habe irgendwie Probleme bei der Bestimmung aller Ideale
> über dem Restklassenring [mm]\IR[x]/p(x).[/mm] Es ist klar, das die
> Restklasse selbst ein Ideal
Meinst du mit "Restklasse" den ganzen Ring [mm] $\IR[x]/p(x)$? [/mm] Oder meinst du die Restklasse von $x$? Die ist erstmal kein Ideal, jedoch erzeugt sie eins (welches?).
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:30 So 06.12.2009 | | Autor: | Dannni |
Vielen Dank hat mir sehr geholfen! Mir ist grad so einiges klar geworden! :) Danke dir!
MfG
Daniel
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