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| Aufgabe | Untersuche die Folge auf ihre Häufungspunkte:
[mm] x_n [/mm] = [mm] \pmat{ -1 & 1 \\ 0 & 0,5 }^n \vektor{1 \\ 2} [/mm] |
Hey,
ich bin mir ganz sicher, dass es eine Umformung gibt, wodurch man schnell sieht , wo die Häufungspunkte liegen. Habs jedoch noch nicht hinbekommen. Hat jemand eine Idee?
Snafu
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:51 So 02.05.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
ich weiss nicht ob es einfachere Wege gibt, aber der funktioniert.
Zerlegen der Matrix in eine Diagonalmatrix und eine Matrix, die nur oben rechts die 1 stehen hat, also
A=D+B mit [mm] A=\pmat{ -1 & 0 \\ 0 & \bruch{1}{2} } [/mm] und [mm] B=\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }
[/mm]
Man kann nachrechnen das [mm] A^n=(D+B)^n=\pmat{ D_{11}^n & \summe_{k=0}^{n-1}D_{22}^k*D_{11}^{n-1-k} \\ 0 & D_{22}^n } [/mm] gilt.
[mm] D_{22}^n [/mm] konvergiert gegen 0
[mm] D_{11}^n [/mm] besitzt zwei Häufungspunkte 1 und -1
Und der Summenausdruck ist eine geometrische Reihe mit den Häufungspunkten [mm] \bruch{2}{3} [/mm] und [mm] -\bruch{2}{3}. [/mm] D.h. die Matrix hat die beiden Häufungspunkte
[mm] \pmat{ 1 & -\bruch{2}{3} \\ 0 & 0 } [/mm] und [mm] \pmat{ -1 & \bruch{2}{3} \\ 0 & 0 }
[/mm]
Mit dem Vektor multipliziert ergeben sich die Häufungspunkte zu
[mm] \vektor{-\bruch{1}{3} \\ 0} [/mm] und [mm] \vektor{\bruch{1}{3} \\ 0}
[/mm]
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Hi,
wieso wird denn um [mm] D_{12} [/mm] zu berechnen, in der Summe [mm] D_{11} [/mm] mit [mm] D_{22} [/mm] multipliziert?
Snafu
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:44 So 02.05.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Da stand ja:durch Nachrechnen, machs doch für n02 und 3, dann siehst dus.
Gruss leduart
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Hi,
also (D + B [mm] )^n [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{n\\k} \pmat{ -1 & 0 \\ 0 & 0,5 }^{n-k} \pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }^k
[/mm]
Ich sehe das [mm] D_{11} [/mm] alterniert zw. 1 und -1 und [mm] D_{22} [/mm] gegen null wächst. Wobei man hier doch den Binomialkoeffizient nicht vergessen darf,oder?
Ich sehe auch das für n>1 B eine Nullmatrix ist.D.h. [mm] D_{12} [/mm] errechnet sich immer durch [mm] D_{11}D_{12} [/mm] + [mm] D_{12}D_{22}, [/mm] was immer Null ergibt?
Sanfu
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:13 So 02.05.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
1.
[mm] (D+B)^2=D^2+D*B+B*D+B^2 \ne D^2+2*D*B+B^2 [/mm] da [mm] D*B\ne{B*D} [/mm] gilt. D.h. die Binomialformel gilt nur für kommutative Matizen.
2.
Versuche einfach mal [mm] (D+B)^n [/mm] für verschieden n auszurechnen und die Formel
[mm] D_{12}=\summe_{k=0}^{n-1}D_{22}^k\cdot{}D_{11}^{n-1-k} [/mm] zu bestätigen.
Für n=1 z.B. gilt
[mm] (D+B)^n_{12}=(D+B)_{12}=1 [/mm] Andererseits gilt
[mm] \summe_{k=0}^{n-1}D_{22}^k\cdot{}D_{11}^{n-1-k}=\summe_{k=0}^{0}D_{22}^k\cdot{}D_{11}^{n-1-k}=D_{22}^0*D_{11}^{0}=1
[/mm]
Für n=1 ist also alles richtig. Das könnte der Induktionsanfang sein.
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