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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:29 Fr 18.04.2008 | | Autor: | dieanne |
| Aufgabe | Berechnen Sie unter Verwendung geeigneter Integrationsmethoden
das unbestimmte Integral:
[mm] \integral{\bruch{8*x^2}{8*x^3-36*x^2+54*x-27}dx} [/mm] |
Hallo,
ich beiße mir schon seit zwei Tagen an diesem Integral die Zähne aus.
Was ich versucht bzw. ausgeschlossen habe:
Partielle Integration fällt ja eher aus, weil es ein Quotient ist.
Dann wollte ich Partialbruchzerlegung machen, aber der Nenner hat keine reellen Nullstellen und ich kann nicht zerlegen. Mit komplexen Nullstellen können/machen wir noch keine Integration.
Also bleibt ja nur noch Substitution. Was kann man aber hier substituieren, das müsste ja etwas aus dem Nenner sein, damit man mit dem Zähler kürzen kann. Hab auch ein paar Substitutionen ausprobiert, aber es hat zu nichts geführt.
Hat irgendjemand für mich eine Idee/Ansatz/Tipp?
Würde mir wirklich helfen!
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Hallo dieanne,
> Berechnen Sie unter Verwendung geeigneter
> Integrationsmethoden
> das unbestimmte Integral:
>
> [mm]\integral{\bruch{8*x^2}{8*x^3-36*x^2+54*x-27}dx}[/mm]
> Hallo,
>
> ich beiße mir schon seit zwei Tagen an diesem Integral die
> Zähne aus.
> Was ich versucht bzw. ausgeschlossen habe:
>
> Partielle Integration fällt ja eher aus, weil es ein
> Quotient ist.
> Dann wollte ich Partialbruchzerlegung machen, aber der
> Nenner hat keine reellen Nullstellen und ich kann nicht
> zerlegen. Mit komplexen Nullstellen können/machen wir noch
> keine Integration.
Dieses Polynom hat sogar 3 reelle Nullstellen.
Demnach kommt sehr wohl die Partialbruchzerlegung in Frage.
>
> Also bleibt ja nur noch Substitution. Was kann man aber
> hier substituieren, das müsste ja etwas aus dem Nenner
> sein, damit man mit dem Zähler kürzen kann. Hab auch ein
> paar Substitutionen ausprobiert, aber es hat zu nichts
> geführt.
>
> Hat irgendjemand für mich eine Idee/Ansatz/Tipp?
>
> Würde mir wirklich helfen!
>
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:53 Fr 18.04.2008 | | Autor: | dieanne |
Ich meinte keine "schönen/brauchbaren" Nullstellen. Stimmt reell sind sie schon, aber nicht ganzzahlig. Kann ich für so etwas Nullstellen nehmen, die mit einem Näherungsverfahren bestimmt wurden? Wird das nicht zu ungenau?
Fällt dir noch etwas zur Substitution ein? Hab so das Gefühl, dass es über Substitution geht?
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Hallo dieanne,
> Ich meinte keine "schönen/brauchbaren" Nullstellen. Stimmt
> reell sind sie schon, aber nicht ganzzahlig. Kann ich für
> so etwas Nullstellen nehmen, die mit einem
> Näherungsverfahren bestimmt wurden? Wird das nicht zu
> ungenau?
Nein, das wird zu ungenau.
Die Nullstellen lassen sich als Bruch, der aus ganzen Zahlen besteht, schreiben.
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> Fällt dir noch etwas zur Substitution ein? Hab so das
> Gefühl, dass es über Substitution geht?
Als ersten Schritt kannst Du eine Substitution verwenden.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:03 Fr 18.04.2008 | | Autor: | dieanne |
Ja, aber was soll ich substituieren. Irgendwie bleiben bei mir immer noch andere x übrig, die ich nicht kürzen kann und dann habe ich ein Integral nach dt in dem immer noch x drin sind...
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Hallo dieanne,
> Ja, aber was soll ich substituieren. Irgendwie bleiben bei
> mir immer noch andere x übrig, die ich nicht kürzen kann
> und dann habe ich ein Integral nach dt in dem immer noch x
> drin sind...
Schau mal etwas genauer hin:
Im Nenner steht ein Polynom 3. Grades, im Zähler ein Polynom 2. Grades.
Was bietet sich da an?
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:16 Fr 18.04.2008 | | Autor: | dieanne |
Ja, es ist eine dreifache Nullstelle.
Das mit dem Grad von Nenner und Zähler ist mir natürlich zu erst aufgefallen, aber ich hab es nicht geschafft so zu kürzen, dass ich den Zähler "wegbekomme", weil wie gesagt immer noch x im Nenner übrig ist. Könntest du mal was vorschlagen was funktioniert?
Wenn man eine Partialbruchzerlegung macht, kommt man auf:
[mm] Z(x)=8*x^2=A*(8*x^2-24*x+18)+(B*x+C)*(x-1,5)
[/mm]
Durch die dreifache Nullstelle kommt für x=1,5 raus:
Z(1,5)=18=A*0+(1,5*B+C)*0
Darf es überhaupt sein, dass da eine falsche Aussage rauskommt?
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Hallo dieanne,
> Ja, es ist eine dreifache Nullstelle.
>
> Das mit dem Grad von Nenner und Zähler ist mir natürlich zu
> erst aufgefallen, aber ich hab es nicht geschafft so zu
> kürzen, dass ich den Zähler "wegbekomme", weil wie gesagt
> immer noch x im Nenner übrig ist. Könntest du mal was
> vorschlagen was funktioniert?
![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
Vielleicht, daß im Zähler fast die Ableitung des Nenners steht.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:30 Fr 18.04.2008 | | Autor: | dieanne |
Irgendwie reden wir aneinander vorbei oder ich steh auf der Leitung!
Natürlich steht dort fast die Ableitung, aber nur vom ersten Summanden des Nenners. Was mache ich den mit dem Rest, wenn ich nur den ersten Summanden substituiere oder wenn ich alles substituiere, was ist dann mit dem Rest der Ableitung??? 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:21 Fr 18.04.2008 | | Autor: | dieanne |
Ich steh doch nicht auf der Leitung. Unser Uebungsleiter hat die Aufgabe gerade geaendert, weil sie falsch war.
Trotzdem vielen Danke!
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Hallo dieanne,
> Irgendwie reden wir aneinander vorbei oder ich steh auf der
> Leitung!
>
> Natürlich steht dort fast die Ableitung, aber nur vom
> ersten Summanden des Nenners. Was mache ich den mit dem
> Rest, wenn ich nur den ersten Summanden substituiere oder
> wenn ich alles substituiere, was ist dann mit dem Rest der
> Ableitung???
Den musst Du dann mit der Partialbruchzerlegung behandeln.
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:59 Fr 18.04.2008 | | Autor: | dieanne |
Ich finde nur eine bei x=1,5. Der Rest ist doch dann komplex, oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:04 Fr 18.04.2008 | | Autor: | MathePower |
Hallo dieanne,
> Ich finde nur eine bei x=1,5. Der Rest ist doch dann
> komplex, oder?
Nee, alle sind reell.
Wenn Du nur eine findest, dann ist das möglicherweise eine 3fache Nullstelle.
Gruß
MathePower
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Hey anne! ich hab das integral gestern auch gemacht, und meine lösung stimmt zwar nicht mit dem integrator überein, aber ich habe sie abgeleitet und komme wieder zum integral, also stimmt das auch ;)
also ich habe eben auch diese 3fache nullstelle bei 1,5.
wenn du dann den nenner als [mm] (x-1,5)^3 [/mm] schreibst, kannst du ganz einfach partielle integration anwenden. diese [mm] 8x^2 [/mm] leitest du ab, und (x-1,5)^(-3) leitest du auf, was ja aufgrund dessen, dass die innere ableitung 1 ist, nicht schwer ist ;)
dann ganze 2 mal bis [mm] 8x^2 [/mm] bzw. 16x aus dem integral raus ist und dann ist das integral ganz einfach ;)
lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:33 Sa 19.04.2008 | | Autor: | crashby |
Hey,
kommt das hier raus ?
$ [mm] \integral{\bruch{8\cdot{}x^2}{8\cdot{}x^3-36\cdot{}x^2+54\cdot{}x-27}dx} [/mm] $
$ [mm] F(x)=ln(2x-3)-\frac{6}{2x-3}-\frac{9}{2\cdot(2x-3)^2}+C [/mm] $ ?
lg George
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:04 Sa 19.04.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo George!
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Ich habe dasselbe erhalten.
Gruß
Loddar
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