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Hallo!
Ich habe eine allgemeine Verständnisfrage zu Eigenwerten/-vektoren.
Ich weiß grundsätzlich, wie man sie berechnet und auch, dass sie eben die Besonderheit haben, dass sie, mit einer Matrix multipliziert, auf ein Vielfaches abgebildet werden und das Vielfache ist der Eigenwert.
Ich habe Eigenwerte vor allem im Zusammenhang mit der Principal Component Analysis im Machine Learning angeschaut. Dort repräsentieren sie die Richtungen der größten Varianz in einem Datensatz.
Man findet Eigenwerte aber bei ganz verschiedenen Problemstellungen, u. a. beim PageRank-Algorithmus von Google oder Eigenfrequenzen.
In diesem Dokument hier ![[]](/images/popup.gif) Some Applications of the Eigenvalues and Eigenvectors of a square matrix sind auch noch ein paar Anwendungsfälle aufgelistet.
Meine Frage ist jetzt: Was haben denn diese Anwendungsfälle gemeinsam, dass Eigenvektoren die Lösungen sind? Oder anders: Was ist das Wesen der Eigenvektoren, dass sie in diesen verschiedenen Anwendungsbereichen als Lösungen vorkommen?
Ich sehe zumindest bei den Anwendungsfällen, die ich bisher gesehen habe, nicht wirklich eine Gemeinsamkeit, bei der ich denke "Ah klar, deswegen kommen hier und hier Eigenvektoren vor".
Ich hoffe, die Frage ist verständlich.
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Guten Abend !
Leider kenne ich mich bei den angegebenen Anwendungsfällen nur
so zum Teil aus. Am anschaulichsten scheint mir das Beispiel mit
den "Eigenfrequenzen". Ein Resonator (schwingendes Gebilde z.B.
mechanischer oder elektronischer Art) spricht dann ganz besonders
an, wenn die anregende Schwingung durch die Transformation A
bei jedem Schritt verstärkt (oder wenigstens wiederholt) wird.
Diese Eigenschaft tritt dann auf, wenn die zu A gehörige Transfor-
mationsmatrix den Zustandsvektor z exakt (oder wenigstens annähernd)
in ein Vielfaches k*z (mit k>0) überführt. Damit wird quasi die Energie
der Schwingung weitergetragen und nicht gleich wieder vernichtet oder
abgeschwächt.
LG , Al-Chw.
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Hallo!
"Diese Eigenschaft tritt dann auf, wenn die zu A gehörige Transfor- mationsmatrix den Zustandsvektor z exakt (oder wenigstens annähernd) in ein Vielfaches k*z (mit k>0) überführt."
Das ist ja schon mal interessant. Ich schaue mir ein, zwei andere Beispiele mal unter diesem Gesichtspunkt an, vielleicht hilft mir das ja.
Aber vielleicht ist es bei meinen Beispielen ja so eine Mischung aus Fällen, bei denen Eigenvektoren inhärent die Lösung sind und Fällen, die absichtlich so modelliert wurden.
Die Meinungen gehen hier ja wohl etwas auseinander. Dementsprechend würde ich die Frage für mich als beantwortet betrachten.
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Hiho,
> Meine Frage ist jetzt: Was haben denn diese
> Anwendungsfälle gemeinsam, dass Eigenvektoren die
> Lösungen sind? Oder anders: Was ist das Wesen der
> Eigenvektoren, dass sie in diesen verschiedenen
> Anwendungsbereichen als Lösungen vorkommen?
ich denke, die Fragestellung ist falsch.
Es ist ja nicht so, dass Eigenwerte "zufällig" immer als Lösung für bestimmte Probleme gefunden werden. Vielmehr ist es doch meist so, dass man ein Problem versucht zu lösen, indem man es geeignet modelliert um dann bekannte Lösungsmethoden verwenden zu können.
In den meisten Fällen wird es also so sein (ohne mich jetzt konkret mit deinen Beispielen beschäftigt zu haben), dass die Probleme gerade so versucht wurden zu modellieren, damit die gesuchten Lösungen gerade die Eigenwerte bzw -vektoren der modellierten Abbildung darstellen. Dafür hat man dann bekannte Verfahren um das hinzubekommen…
Gruß,
Gono
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> ..... Vielmehr ist es doch meist so, dass man ein Problem
> versucht zu lösen, indem man es geeignet modelliert um
> dann bekannte Lösungsmethoden verwenden zu können.
> In den meisten Fällen wird es also so sein (ohne mich
> jetzt konkret mit deinen Beispielen beschäftigt zu haben),
> dass die Probleme gerade so versucht wurden zu modellieren,
> damit die gesuchten Lösungen gerade die Eigenwerte bzw
> -vektoren der modellierten Abbildung darstellen. Dafür hat
> man dann bekannte Verfahren um das hinzubekommen…
>
> Gruß,
> Gono
Hallo Gono,
mit dieser Ansicht kann ich mich nicht einverstanden erklären.
Die PCA-Methode hat durchaus einen geometrischen Hintergrund,
wenn man nur die Menge der Datenpunkte in der Ebene betrachtet,
die man zur Darstellung des Datenmaterials braucht. Und dann geht
es da im Prinzip darum, so etwas wie die "Trägheitsellipse" eines
Punkthaufens und deren Hauptachsen zu bestimmen. Dass diese
Hauptachsenbestimmung mathematisch auch mit Eigenvektoren
einer Abbildungsmatrix zu tun hat, ist dann nicht weiter verwunderlich.
Man "manipuliert" also keineswegs eine mathematische Situation so,
dass sie dann zu einem Lösungsalgorithmus "passt", sondern dass der
Algorithmus passt, ist eine intrinsische Eigenschaft dieser Art von
Aufgaben.
LG , Al
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Bestimmte mathematische Gleichungen lassen sich so umformen, dass ihre Lösungen dann Eigenvektoren darstellen.
Beispiele:
[mm] A\vec{x}=B\vec{x}, [/mm] B invertierbar [mm] \Rightarrow (B^{-1}A)\vec{x}=\vec{x} [/mm] oder
[mm] A\vec{x}=B\vec{x}+\lambda \vec{x} \Rightarrow A\vec{x}=(B+\lambda E)\vec{x}, (B+\lambda [/mm] E) invertierbar [mm] \Rightarrow (B+\lambda E)^{-1}A\vec{x}=\vec{x} [/mm]
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