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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:30 Sa 22.11.2008 | | Autor: | s.1988 |
| Aufgabe | Es sei K ein Körper und V ein K-Vektorraum. Zeigen Sie:
(i) Ist f: V [mm] \to [/mm] V eine lineare Abb. mit f [mm] \circ [/mm] f = f, so gilt V=ker(f)+im(f) und ker(f) [mm] \cap [/mm] im(f) =0.
(ii) Ist V endlich dimensional über K und ist U [mm] \subseteq [/mm] V ein Untervektorraum, so existiert eine lineare Abbildung f: V [mm] \to [/mm] V mit f [mm] \circ [/mm] f = f und ker (f) = U. |
Hallo,
spontan würde mir für die Abb. f [mm] \circ [/mm] f = f ja einfallen, dass f=id ist, aber wenn ich das anwenden würde, dann müsste ich ja noch beweisen, dass es keine andere Abb. gibt, für die das gilt, und warscheinlich kenne ich nur keine andere, deswegen denke ich, ist das kein beschreitbarer Weg.
Ich schreibe jetzt erst mal den Anfang auf:
zu zeigen: Ist f: V [mm] \to [/mm] V lin. Abb. mit f [mm] \circ [/mm] f = f
=> V=ker(f) + im(f) und ker(f) [mm] \cap [/mm] im(f) =0
Bew.
f ist lin. Abb, also sei [mm] U:=ker(f)\subseteq [/mm] V und W:=im(f) [mm] \subseteq [/mm] V.
Da f jedem Element aus V genau ein Element aus V zuordnet, muss dieses ja entweder im Kern oder im Bild liegen.
Mit dim V = dim ker(f) + dim im(f) darf nur die Null Schnitt des Kerns und des Bildes sein.
Das sind so Gedanken, die mir gekommen sind, aber ich weiß jetzt nicht weiter. Tipps oder Ansätze wären echt super.
Danke schon mal.
Sebastian
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> Es sei K ein Körper und V ein K-Vektorraum. Zeigen Sie:
> (i) Ist f: V [mm]\to[/mm] V eine lineare Abb. mit f [mm]\circ[/mm] f = f, so
> gilt V=ker(f)+im(f) und ker(f) [mm]\cap[/mm] im(f) =0.
> (ii) Ist V endlich dimensional über K und ist U [mm]\subseteq[/mm]
> V ein Untervektorraum, so existiert eine lineare Abbildung
> f: V [mm]\to[/mm] V mit f [mm]\circ[/mm] f = f und ker (f) = U.
> Hallo,
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> spontan würde mir für die Abb. f [mm]\circ[/mm] f = f ja einfallen,
> dass f=id ist, aber wenn ich das anwenden würde, dann
> müsste ich ja noch beweisen, dass es keine andere Abb.
> gibt, für die das gilt, und warscheinlich kenne ich nur
> keine andere, deswegen denke ich, ist das kein
> beschreitbarer Weg.
Hallo,
ja, so ist es.
Ich sag Dir mal eine Abbildung, für die [mm] f\circ [/mm] f=f ist:
[mm] f:\IR^3\to \IR^3
[/mm]
[mm] f(\vektor{x\\y\\z}):=\vektor{x\\0\\z}
[/mm]
Vielleicht schaust Du Dir die erstmal an und prüfst, ob die zu zeigende Aussage stimmt.
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> Ich schreibe jetzt erst mal den Anfang auf:
> zu zeigen: Ist f: V [mm]\to[/mm] V lin. Abb. mit f [mm]\circ[/mm] f = f
> => V=ker(f) + im(f) und ker(f) [mm]\cap[/mm] im(f) =0
> Bew.
> f ist lin. Abb, also sei [mm]U:=ker(f)\subseteq[/mm] V und W:=im(f)
> [mm]\subseteq[/mm] V.
> Da f jedem Element aus V genau ein Element aus V zuordnet,
> muss dieses ja entweder im Kern oder im Bild liegen.
Der Schluß ist nicht richtig. Das Bild ist eine Teilmenge der Zielmenge, der Kern eine der Definitionsmenge.
Sieh z.B. dies:
g: [mm] IR^3\to \IR^3
[/mm]
[mm] g(\vektor{x\\y\\z}):=\vektor{y+z\\0\\0}
[/mm]
Hier ist der Schnitt von Bild und Kern nicht leer.
> Mit dim V = dim ker(f) + dim im(f) darf nur die Null
> Schnitt des Kerns und des Bildes sein.
Du mußt bei Deinen Überlegungen natürlich irgendwie die Eigenschaft [mm] f\circ [/mm] f=f verwenden.
Nimm an, daß es ein Element gibt, welches gleichzeitig im Kern und Bild liegt, und zeige, daß es wegen [mm] f\circ [/mm] f=f dann =0 sein muß.
Gruß v. Angela
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