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Idempotente Element: Aufgabe
Status: (Question) answered Status 
Date: 10:38 Di 21/10/2014
Author: Striker_03

Aufgabe
Sei R ein Ring. Ein Element x [mm] \in \IR [/mm] heißt idempotent wenn $ [mm] x^2 [/mm] = x $ gilt.

a) Wieviele idempotente Elemente gibt es in $ [mm] \IZ [/mm] / [mm] m\IZ [/mm] $, wenn $ m [mm] =p_1^{\;n_1} [/mm] * ... * [mm] p_k^{\;n_k} [/mm] $ die Primfaktorzerlegung von m bezeichnet?

b)  Welches sind die idempotenten Elemente in $ [mm] \IZ [/mm] / [mm] 210\IZ [/mm] $

Guten morgen..

zu a) weiß ich leider nichts.

zu b) habe ich $ 210=2*3*5*7 $ aber weiter weiß ich dort auch nicht.

Ich komme bei dieser Aufgabe leider auf keinen grünen Zweig. -.-

Hätte jmd. Lust zu helfen?

Gruß

Striker_03



        
Bezug
Idempotente Element: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 11:07 Di 21/10/2014
Author: UniversellesObjekt

Wir haben stets 0 und 1 als Idempotente. Wir nehmen daher an, dass x von diesen verschieden ist.

Wenn $ x $ idempotent ist, dann ist $ x (x-1)=0$, also gilt $ [mm] m\mid [/mm] x (x-1) $. Nun sind aber $ x $ und $ x-1$ teilerfremd. Es gibt daher teilerfremde $ r, s $ mit $ m=rs $, $ [mm] r\mid [/mm] x $, $ [mm] s\mid [/mm] x-1$.
Falls n eine Primzahlpotenz ist, ist das überhaupt nicht möglich. Dort sind also 0 und 1 die einzigen Idempotenten.

Ich nehme an, dass man die übrigen Fälle durch Zerlegen des Ringes mithilfe des chin. Restsatzes hierauf zurückführen kann. Mache dir doch einmal Gedanken hierzu.

Liebe Grüße,
UniversellesObjekt

Bezug
                
Bezug
Idempotente Element: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Date: 11:12 Di 21/10/2014
Author: Striker_03

Danke, aber deine Antwort war jetzt auf a) oder?

und bei b) ?


LG

Bezug
                        
Bezug
Idempotente Element: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 11:23 Di 21/10/2014
Author: UniversellesObjekt

210=2*3*5*7. [mm] $\IZ/210\cong\IZ/2\times\IZ/3\times\IZ/5\times\IZ/7$. [/mm] Die Idempotenten aus dem letzteren Ring kann man nun leicht bestimmen gemäß meiner obigen Antwort. Wenn du einen konkreten Isomorphismus findest, kann man genau deren Urbilder nehmen. In wiefern das praktisch möglich ist, eventuell mithilfe des euklidischen Algorithmus oder Ähnlichem, kann ich aber nicht sagen, ich lasse daher die Frage für einen weiteren Antwortgeber offen.

Ansonsten, wenn man naiv daran geht, kann man wenigstens verwenden, dass für jedes idempotente Element $x$ auch $1-x$ idempotent ist, und dass man nur [mm] $2^4$ [/mm] Elemente suchen muss. Ich hoffe, das hilft.

Liebe Grüße,
UniversellesObjekt

Bezug
                                
Bezug
Idempotente Element: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 21:46 Fr 24/10/2014
Author: felixf

Moin!

> 210=2*3*5*7.
> [mm]\IZ/210\cong\IZ/2\times\IZ/3\times\IZ/5\times\IZ/7[/mm]. Die
> Idempotenten aus dem letzteren Ring kann man nun leicht
> bestimmen gemäß meiner obigen Antwort. Wenn du einen
> konkreten Isomorphismus findest, kann man genau deren
> Urbilder nehmen. In wiefern das praktisch möglich ist,
> eventuell mithilfe des euklidischen Algorithmus oder
> Ähnlichem, kann ich aber nicht sagen, ich lasse daher die
> Frage für einen weiteren Antwortgeber offen.

Mit Hilfe des euklidischen Algorithmus kann man einen effektiven Beweis vom chinesischen Restsatz angeben, der einem den Isomorphismus explizit liefert. Man berechnet dabei ein paar dieser nicht-trivialen idempotenten Elemente, und kann dann [mm] $\IZ/2\IZ \times \IZ/3\IZ \times \IZ/5\IZ \times \IZ/7\IZ \to \IZ/210\IZ$ [/mm] als $(x + [mm] 2\IZ, [/mm] y + 3 [mm] \IZ, [/mm] z + [mm] 5\IZ, [/mm] w + [mm] 7\IZ) \mapsto [/mm] x A + y B + z C + w D + 210 [mm] \IZ$ [/mm] hinschreiben.

LG Felix


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Idempotente Element: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 11:20 Do 23/10/2014
Author: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
        
Bezug
Idempotente Element: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 11:09 Di 21/10/2014
Author: UniversellesObjekt

Ich denke, das Thema gehört in die Algebra.

Liebe Grüße,
UniversellesObjekt

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