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Forum "Determinanten" - Idempotente Matrix
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Idempotente Matrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:15 Di 04.02.2014
Autor: Mathics

Aufgabe
Beweisen Sie das M idempotent ist.

M= E - [mm] C*(C*C^t)^-1 [/mm] * [mm] C^T [/mm]  

dabei sind C und [mm] C^t [/mm] nicht quadratische Matrizen.

Hallo,

man könnte das ja einfach so ausrechnen:

M= E - [mm] C*(C*C^t)^-1 [/mm] * [mm] C^T [/mm]  

= E - [mm] C*C^t*C^-1*(C^T)^-1 [/mm] = E - [mm] E^2 [/mm] = E

Eine Nullmatrix ist immer idempotent.

In der Aufgabe stand auch: Rechnen Sie zunächst [mm] M^2 [/mm] für ihre Schlussfolgerung aus.

Könnte man auch irgendwie  hiermit rechnen:

[mm] M^2 [/mm] = [mm] E^2 [/mm] - 2* [mm] C*(C*C^t)^-1 [/mm] * [mm] C^T [/mm] + [mm] (C*(C*C^t)^-1 [/mm] * [mm] C^T)^2 [/mm]

LG
Mathics


        
Bezug
Idempotente Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:21 Di 04.02.2014
Autor: Richie1401

Hallo,

> Beweisen Sie das M idempotent ist.
>  
> M= E - [mm]C*(C*C^t)^-1[/mm] * [mm]C^T[/mm]  
>
> dabei sind C und [mm]C^t[/mm] nicht quadratische Matrizen.
>  Hallo,
>  
> man könnte das ja einfach so ausrechnen:
>  
> M= E - [mm]C*(C*C^t)^-1[/mm] * [mm]C^T[/mm]  
>
> = E - [mm]C*C^t*C^-1*(C^T)^-1[/mm] = E - [mm]E^2[/mm] = E

Warum sollte das E ergeben?

>
> Eine Nullmatrix ist immer idempotent.
>  
> In der Aufgabe stand auch: Rechnen Sie zunächst [mm]M^2[/mm] für
> ihre Schlussfolgerung aus.
>  
> Könnte man auch irgendwie  hiermit rechnen:
>  
> [mm]M^2[/mm] = [mm]E^2[/mm] - 2* [mm]C*(C*C^t)^-1[/mm] * [mm]C^T[/mm] + [mm](C*(C*C^t)^-1[/mm] * [mm]C^T)^2[/mm]

Ja, das heißt ja gerade Idempotenz:

   [mm] M^2=M [/mm]

Das ist also nachzuweisen.

>  
> LG
>  Mathics
>  


Bezug
                
Bezug
Idempotente Matrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:23 Di 04.02.2014
Autor: Mathics


>
> Warum sollte das E ergeben?

Weil man doch die Inversen hat [mm] C*C^-1*C^t*(C^t)^-1 [/mm] ?

Bezug
                        
Bezug
Idempotente Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:29 Di 04.02.2014
Autor: fred97


>
> >
> > Warum sollte das E ergeben?
>  
> Weil man doch die Inversen hat [mm]C*C^-1*C^t*(C^t)^-1[/mm] ?

Du hattest doch

$ [mm] C\cdot{}(C\cdot{}C^T)^{-1} [/mm]  *  [mm] C^T [/mm] $  

FRED


Bezug
        
Bezug
Idempotente Matrix: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:40 Di 04.02.2014
Autor: Richie1401

Hallo nochmal,

ich will noch einmal nachfragen:

was bedeutet das kleine t und was das große T? Oder sollen beide die transponierte Matrix bedeuten?

Ich frage denn:

Nehmen wir mal an, dass C eine [mm] 3\times4-Matrix [/mm] ist.

Dann haben wir für die Dimensionen:

[mm] C\cdot{}(C\cdot{}C^t)^{-1}C^T\Rightarrow 3\times4*(3\times4*4\times3)^{-1}*4\times3=3\times4*3\times3*4\times3 [/mm]

Das Produkt ist nicht ausführbar.

Bezug
                
Bezug
Idempotente Matrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:52 Di 04.02.2014
Autor: Mathics

Ich entschuldige bitte für den Tippfehler.

Es muss: M = E - [mm] C*(C^T-C)^-1*C^T [/mm] heißen und das T bedeutet transponiert.


Kann man das über

[mm] M^2 [/mm] = [mm] E^2 [/mm] - [mm] 2*C*(C^T-C)^-1*C^T +(C*(C^T-C)^-1*C^T)^2 [/mm] berechnen?


LG
Mathics?

Bezug
                        
Bezug
Idempotente Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:10 Di 04.02.2014
Autor: fred97


> Ich entschuldige bitte für den Tippfehler.
>  
> Es muss: M = E - [mm]C*(C^T-C)^-1*C^T[/mm] heißen und das T
> bedeutet transponiert.

Oben schreibst Du:

"C und $ [mm] C^t [/mm] $ nicht quadratische Matrizen".

Dann ist aber die Differenz [mm] C^T-C [/mm] nicht definiert !!

FRED

>  
>
> Kann man das über
>  
> [mm]M^2[/mm] = [mm]E^2[/mm] - [mm]2*C*(C^T-C)^-1*C^T +(C*(C^T-C)^-1*C^T)^2[/mm]
> berechnen?
>  
>
> LG
>  Mathics?


Bezug
                                
Bezug
Idempotente Matrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:14 Di 04.02.2014
Autor: Mathics

Was ist denn heute los mit mir?

Also richtig muss es so heißen:

M = E - [mm] C*(C^T*C)^-1*C^T [/mm]

Ich würde das gerne über diese Form berechnen, aber weiß nicht wie man weitermachen soll:
  
[mm] M^2 [/mm] = [mm] E^2 [/mm] - [mm] 2*C*(C^T*C)^-1*C^T +(C*(C^T*C)^-1*C^T)^2 [/mm]


Tut mir leid für die Tippfehler


LG
Mathics

Bezug
                                        
Bezug
Idempotente Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:47 Di 04.02.2014
Autor: Sax

Hi,

> Was ist denn heute los mit mir?
>  
> Also richtig muss es so heißen:
>  
> M = E - [mm]C*(C^T*C)^-1*C^T[/mm]
>  
> Ich würde das gerne über diese Form berechnen, aber weiß
> nicht wie man weitermachen soll:
>    
> [mm]M^2[/mm] = [mm]E^2[/mm] - [mm]2*C*(C^T*C)^-1*C^T +(C*(C^T*C)^-1*C^T)^2[/mm]
>
>

das ist auch völlig in Ordnung.
Berechne zuerst das Quadrat der Matrix [mm] B=C*(C^T*C)^{-1}*C^T [/mm] am Ende, indem du die beiden Faktoren hintereinanderschreibst, das Assoziativgesetz anwendest und geeignet zusammenfasst.
Du stellst fest, dass [mm] B^2=B [/mm] ist und somit wird [mm] M^2=E^2-2B+B^2=E-2B+B=E-B=M [/mm]

In der Aufgabenstellung sollte noch stehen, dass M nur dann idempotent ist, wenn M überhaupt definiert ist, d.h. wenn [mm] (C^T*C)^{-1} [/mm] existiert, was nicht selbstverständlich ist.

Gruß Sax.

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