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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:10 Sa 21.01.2012 | | Autor: | JohnB |
| Aufgabe | | Eine (n x n)-Matrix P heißt idempotent, falls $ [mm] P^2=P [/mm] $ ist. Eine (n x n)-Matrix I heißt involutorisch, falls $ [mm] I^2=E [/mm] $, wobei $ [mm] E=E_{n} [/mm] $ die Einheitsmatrix vom Typ (n x n) ist. Zeigen Sie, dass eine Matrix P genau dann idemptotent ist, wenn die Matrix $ I=2P-E $ involutorisch ist. |
Also z.z. ist: P idemptotent, wenn I=2P-E involutirsch.
Ich quadriere die Gleichung und erhalte
$ [mm] I^2=(2P-E)^2 [/mm] $
wobei $ [mm] I^2 [/mm] $ nach Voraussetzung E ist, also
$ [mm] E=(2P-E)^2 [/mm] $
Rechts kann (?) ich die binomische Formel verwenden, also
$ [mm] E=(2P)^2-2PE+E^2 [/mm] $
$ [mm] E^2 [/mm] $ ist gleich $ E $ und $ 2PE$ ist gleich $ 2P $ , also
$ [mm] E=(2P)^2-2P+E [/mm] $
$ [mm] \gdw 0=4*P^2-2P [/mm] $
$ [mm] \gdw 2P=4P^2 [/mm] $
$ [mm] \gdw \bruch{1}{2}P=P^2 [/mm] $
Das stimmt aber nicht ganz. Wahrscheinlich ist was bei den Umformungen nicht ganz richtig, weil andere Regeln gelten.
Wäre für Hilfe dankbar!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:16 Sa 21.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Eine (n x n)-Matrix P heißt idempotent, falls [mm]P^2=P[/mm] ist.
> Eine (n x n)-Matrix I heißt involutorisch, falls [mm]I^2=E [/mm],
> wobei [mm]E=E_{n}[/mm] die Einheitsmatrix vom Typ (n x n) ist.
> Zeigen Sie, dass eine Matrix P genau dann idemptotent ist,
> wenn die Matrix [mm]I=2P-E[/mm] involutorisch ist.
> Also z.z. ist: P idemptotent, wenn I=2P-E involutirsch.
.....und umgekehrt .. !
>
> Ich quadriere die Gleichung und erhalte
>
> [mm]I^2=(2P-E)^2[/mm]
>
> wobei [mm]I^2[/mm] nach Voraussetzung E ist, also
>
> [mm]E=(2P-E)^2[/mm]
>
> Rechts kann (?)
Ja, denn PE=EP
> ich die binomische Formel verwenden, also
>
> [mm]E=(2P)^2-2PE+E^2[/mm]
Dann verwende die Formel doch richtig !
[mm]E=(2P)^2-4PE+E^2[/mm]
>
> [mm]E^2[/mm] ist gleich [mm]E[/mm] und [mm]2PE[/mm] ist gleich [mm]2P[/mm] , also
>
>
> [mm]E=(2P)^2-2P+E[/mm]
> [mm]\gdw 0=4*P^2-2P[/mm]
> [mm]\gdw 2P=4P^2[/mm]
> [mm]\gdw \bruch{1}{2}P=P^2[/mm]
>
> Das stimmt aber nicht ganz. Wahrscheinlich ist was bei den
> Umformungen nicht ganz richtig,
s.o.
FRED
> weil andere Regeln gelten.
>
> Wäre für Hilfe dankbar!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:24 Sa 21.01.2012 | | Autor: | JohnB |
Ah, jetzt sehe ich es. Wie blöd von mir.
Also auch andersrum? OK, werd's tun (klang für mich sprachlich eher anders)
Danke für den Hinweis! :)
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