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Identität nachweisen: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:19 So 11.06.2006
Autor: Raingirl87

Aufgabe
Seo k [mm] \in \IN [/mm] 0. Weisem sie für |x| < 1 die Identität [mm] \bruch{1}{(1-x)^{k+1}} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \vektor{n+k \\ n} x^{n} [/mm] nach.

Hallo!

Ich habe bei dieser Aufgabe erstmal die rechte Seite umgewandet. Nun habe ich:
[mm] \bruch{1}{(1-x)^{k+1}} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(n+k)! x^{n}}{n! (-k)!} [/mm] .
Und wie gehe ich nun weiter vor?
Also, wie weise ich die Identität nun nach?

Danke schonmal!

        
Bezug
Identität nachweisen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:26 So 11.06.2006
Autor: felixf

Hallo Raingirl!

> Seo k [mm]\in \IN[/mm] 0. Weisem sie für |x| < 1 die Identität
> [mm]\bruch{1}{(1-x)^{k+1}}[/mm] = [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \vektor{n+k \\ n} x^{n}[/mm]
> nach.
>  Hallo!
>  
> Ich habe bei dieser Aufgabe erstmal die rechte Seite
> umgewandet. Nun habe ich:
>  [mm]\bruch{1}{(1-x)^{k+1}}[/mm] = [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(n+k)! x^{n}}{n! (-k)!}[/mm]
> .
> Und wie gehe ich nun weiter vor?
>  Also, wie weise ich die Identität nun nach?

Mach es am besten per Induktion. Fuer $k = 0$ ist das gerade die geometrische Reihe. Fuer den Induktionsschritt leite beide Seiten ab, um von $k$ nach $k+1$ zu kommen.

LG Felix


Bezug
                
Bezug
Identität nachweisen: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:00 So 11.06.2006
Autor: Raingirl87

Hallo!

Vielen Dank für den Tipp mit der geom. Reihe und der Induktion.
Ich habe die linke Seite nun umgewandelt und die Summe so umgeschrieben, dass sie bei n=0 beginnt und bin dazu gekommen:
( [mm] \summe_{n=0}^{\infty} x^{n} )^{k+1} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(n+k)! x^{n}}{n! (-k)!}. [/mm] Stimmt das so?
Wenn ich nun beim Induktionsanfang n=0 einsetze...was setze ich denn da überall für k ein?
Und wie leite ich diese Summen denn dann für den Induktionsschritt ab? Also zwecks der Fakultäten und so.?

Liebe Grüße, Raingirl87


Bezug
                        
Bezug
Identität nachweisen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:13 So 11.06.2006
Autor: felixf

Hallo Raingirl!

> Vielen Dank für den Tipp mit der geom. Reihe und der
> Induktion.
>  Ich habe die linke Seite nun umgewandelt und die Summe so
> umgeschrieben, dass sie bei n=0 beginnt und bin dazu
> gekommen:
>  ( [mm]\summe_{n=0}^{\infty} x^{n} )^{k+1}[/mm] =
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(n+k)! x^{n}}{n! (-k)!}.[/mm]

Soll das erste die $k+1$-te Ableitung sein? Oder was machst du da?
Und es soll sicher $(n-k)!$ sein und nicht $(-k)!$, oder?

> Stimmt das so?
>  Wenn ich nun beim Induktionsanfang n=0 einsetze...was
> setze ich denn da überall für k ein?

Du machst Induktion ueber $k$. Die Variable $n$ ist eine Indexvariable, darueber darfst du hier keine Induktion machen.

Also fuer $k = 0$ hast du da grad die geometrische Reihe stehen.

Angenommen, die Behauptung gilt schon fuer ein $k$. Es gilt also [mm] $\frac{1}{(1 - x)^{k+1}} [/mm] = [mm] \sum_{n=0}^\infty \binom{n+k}{n} x^n$. [/mm] Das leitest du nun auf beiden Seiten einmal ab. Und das formst du dann so um, das die gesuchte Gleichung fuer $k+1$ dort steht, also [mm] $\frac{1}{(1 - x)^{k+1+1}} [/mm] = [mm] \sum_{n=0}^\infty \binom{n+k+1}{n} x^n$. [/mm]

LG Felix


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