Identität von Varianz zeigen < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:43 Do 08.11.2007 | | Autor: | Mo0nY |
| Aufgabe | Seien [mm] (X_{k}, [/mm] k [mm] \in \IN) [/mm] eine Folge unabhängiger, identisch verteilter Zufallsvariablen mit Werten in [mm] \IN_{0} [/mm] und N eine von [mm] (X_{k}, [/mm] k [mm] \in \IN) [/mm] unabhängige Zufallsvariable mit Werten in [mm] \IN_{0}. [/mm] Weiter sei
Y [mm] :=\begin{cases} \summe_{k=1}^{N}X_{k}, & \mbox{für } N \ge 1 \mbox{} \\ 0, & \mbox{sonst.} \end{cases}
[/mm]
Es gelte [mm] E(X_{1})<+\infty [/mm] und [mm] E(N)<+\infty.
[/mm]
a) Zeigen sie, dass folgende Identität gilt:
E(Y) = [mm] E(X_{1})E(N).
[/mm]
b) Weisen sie unter der weiteren Voraussetzung [mm] E(X_{1}^{2})<+\infty [/mm] und [mm] E(N^{2})<+\infty [/mm] nach, dass
Var(Y) = [mm] Var(N)E(X_{1})^{2} [/mm] + [mm] E(N)Var(X_{1}). [/mm] |
Hallo zusammen,
Ich bin neu in diesem Forum.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Nun zu meiner Frage:
Ich habe Teil a) bereits gelöst und mich folgendermaßen an b) versucht:
zunächst weiß ich ja, dass Var(Y) = [mm] E(Y^{2}) [/mm] - [mm] E(Y)^{2} [/mm] = (nach a)) [mm] E(Y^{2}) [/mm] - [mm] E(X_{1})^{2}E(N)^{2}.
[/mm]
Andererseits habe ich ja
[mm] Var(N)E(X_{1})^{2} [/mm] + [mm] E(N)Var(X_{1}) [/mm]
= [mm] (E(N^{2})-E(N)^{2})E(X_{1})^{2} [/mm] + [mm] E(N)(E(X_{1}^{2})-E(X_{1})^{2}) [/mm]
= [mm] E(N^{2})E(X_{1})^{2} [/mm] + [mm] E(N)E(X_{1}^{2}) [/mm] - [mm] E(N)E(X_{1})^{2} [/mm] - [mm] E(N)^{2}E(X_{1})^{2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] wenn [mm] E(Y^{2}) [/mm] = [mm] E(N^{2})E(X_{1})^{2} [/mm] + [mm] E(N)E(X_{1}^{2}) [/mm] - [mm] E(N)E(X_{1})^{2} [/mm] dann gilt b)
Meine Frage nun, wie kann ich diese Gleichheit zeigen, meine Übungsgruppe und ich haben bisher leider noch keine Lösung gefunden.
Oder gibt es vielleicht eine andere Möglichkeit die Gleichung zu verifizieren?
Ich freue mich über jeden kleinen Hinweis und jede Anregung!
Vielen Dank schon jetzt für eure Hilfe!
Mo0nY :o)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:21 Mo 12.11.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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