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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:20 Mo 28.11.2011 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Für eine bijektive Abbildung [mm] $f:A\to [/mm] B$ und [mm] $M\subseteq [/mm] B$ hat [mm] $f^{-1}[M]$ [/mm] zwei verschiedene Bedeutungen:
[mm] $\mathfrak{P}_{-}(f)(M)$ [/mm] bzw. [mm] $\mathfrak{P}^{+}(f^{-1})(M)$, [/mm] wobei [mm] $f^{-1}:B\to [/mm] A$ die Umkehrabbildung von [mm] $f:A\to [/mm] B$ bezeichne.
Zeige, daß für eine bijektive Abbildung [mm] $f:A\to [/mm] B$ gilt
[mm] $\mathfrak{P}_{-}(f)(M)=\mathfrak{P}^{+}(f^{-1})(M)$. [/mm] |
Hallo!
Wir haben momentan Kategorientheorie (Funktor, natürliche Transformation,...) und wir haben mit
[mm] $\mathfrak{P}^{+}$ [/mm] immer den covarianten und mit [mm] $\mathfrak{P}_{-}$ [/mm] den contravarianten Potenzmengenfunktor bezeichnet.
Deswegen nehme ich mal an, daß das hier auch gemeint ist.
Da nun [mm] $M\subseteq [/mm] B$, bedeutet das ja, daß [mm] $M\in\mathcal{P}(B)=\mathfrak{P}^{+}(B)=\mathfrak{P}_{-}(B)$.
[/mm]
Nun verstehe ich die Schreibweise so:
[mm] $\mathfrak{P}^{+}(f^{-1})(M)=\mathfrak{P}^{+}(f^{-1}(M))=(\mathfrak{P}^{+}\circ f^{-1})(M)$,
[/mm]
[mm] $\mathfrak{P}_{-}(f)(M)=\mathfrak{P}_{-}(f(M))$
[/mm]
So richtig weiter komme ich jetzt nicht und ich weiß nichtmal, ob ichs richtig verstanden habe, was ich eigentlich machen soll.
Kann mir jemand helfen?
Dennis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:36 Mo 28.11.2011 | | Autor: | dennis2 |
Ich denke, ich muss mich mehr an die Kategorientheorie halten:
Da f bijektiv ist, müsste gelten:
[mm] $f\in\text{Mor}(A,B)$ [/mm] mit [mm] $A,B\in\text{Ob}(\text{Ens})$.
[/mm]
Außerdem:
[mm] $\mathfrak{P}^{+}: \text{Ens}\to\text{Ens}, A\mapsto \mathcal{P}(A), B\mapsto\mathcal{P}(B)
[/mm]
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:18 Mo 28.11.2011 | | Autor: | dennis2 |
Ich habe das glaube ich viel zu kompliziert gesehen. 
Also: Zu zeigen ist, daß
[mm] $\mathfrak{P}^{+}(f^{-1})(M)=\mathfrak{P}_{-}(f)(M)$
[/mm]
Sei also [mm] $\mathfrak{P}^{+}$ [/mm] der covariante Potenzmengenfunktor und sei [mm] $\mathfrak{P}_{-}$ [/mm] der contravariante Potenzmengenfunktor.
Nun ist doch [mm] $f\in\text{Mor}(A,B), f^{-1}\in\text{Mor}(B,A)$, [/mm] oder? Sind Bijektionen nicht zwangsläufig Morphismen?
Außerdem gilt dann:
[mm] $\mathfrak{P}^{+}(f^{-1}): \mathcal{P}(B)\to\mathcal{P}(A), K\mapsto f^{-1}(K)$
[/mm]
sowie
[mm] $\mathfrak{P}_{-}(f): \mathcal{P}(B)\to\mathcal{P}(A)$
[/mm]
Damit dürfte die Identität eigentlich schon klar sein, oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:04 Di 29.11.2011 | | Autor: | cycore |
> Nun ist doch [mm]f\in\text{Mor}(A,B), f^{-1}\in\text{Mor}(B,A)[/mm],
> oder? Sind Bijektionen nicht zwangsläufig Morphismen?
In der Kategorie der Mengen sind alle Abbildungen Morphismen.
Cycore
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:21 Mi 30.11.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:45 Di 29.11.2011 | | Autor: | fred97 |
Du sollst zeigen: ist f bikektiv, so gilt:
[mm] $\{a \in A: f(a) \in M \}= \{f^{-1}(b): b \in M\}$
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:34 Di 29.11.2011 | | Autor: | dennis2 |
Und was hat es dann mit den Funktoren auf sich?
Die brauche ich für den Beweis?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:07 Mi 30.11.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Und was hat es dann mit den Funktoren auf sich?
>
> Die brauche ich für den Beweis?
ehrlich gesagt habe ich nicht den blassesten Schimmer von Kategorientheorie. Aber es sieht wohl so aus, dass Fred wohl nichts anderes als deren Definitionen anzuwenden, gemacht hat:
![[]](/images/popup.gif) Beispiel 9.4(1.4)
Daraus erhält man dann die von Fred vorgeschlagene äquivalente Aussage zu der Aussage, die Du beweisen sollst. D.h. insbesondere, wenn Du diese bewiesen hast, folgt daraus, dass auch die "Ursprungsaussage" stimmt.
Grüße,
Marcel
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