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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:13 Mi 29.11.2006 | | Autor: | darwin |
| Aufgabe | Man zeige folgenden Satz:
Sei A eine endliche Menge. Dann ist jede injektive Abbildung f:A->A bijektiv. |
Da die Injektivität gegeben ist muss ich ja eigentlich nur die Surjektivität beweisen.
Eine endliche Menge würde ich so verallgemeinern: [mm]A = \left\{x_1,x_2,...,x_n\right\}[/mm]
Und I sei eine Indexmenge [mm]\left\{1,2,...,n\right\}[/mm]
Reicht es dann zu sagen [mm]f\left( a_{i\in I}\right)=a_{i\in I} =f^{-1} \left(a_{i\in I} \right)[/mm]?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo darwin!
> Man zeige folgenden Satz:
> Sei A eine endliche Menge. Dann ist jede injektive
> Abbildung f:A->A bijektiv.
> Da die Injektivität gegeben ist muss ich ja eigentlich nur
> die Surjektivität beweisen.
>
> Eine endliche Menge würde ich so verallgemeinern: [mm]A = \left\{x_1,x_2,...,x_n\right\}[/mm]
>
> Und I sei eine Indexmenge [mm]\left\{1,2,...,n\right\}[/mm]
>
>
> Reicht es dann zu sagen [mm]f\left( a_{i\in I}\right)=a_{i\in I} =f^{-1} \left(a_{i\in I} \right)[/mm]?
Ich weiß nicht so ganz, ob du das Richtige meinst, aber diese kurze Formulierung scheint mir auf jeden Fall zu kurz. Ich glaube, es läuft darauf hinaus, dass die Abbildung ja von A wieder in die Menge A geht, dass also Urbild- und Bildbereich genauso viele Elemente habe. Und wenn das Ganze injektiv ist, können ja keine zwei auf das Gleiche abgebildet werden, also gibt es für jedes Element aus der Urbildmenge eins in der Bildmenge, und damit hast du bereits alle getroffen, denn beide Mengen haben ja gleich viele Elemente.
Das müsste man allerdings noch etwas mathematischer aufschreiben.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:18 Do 30.11.2006 | | Autor: | darwin |
Erstmal danke.
Wie kann ich das denn mathematischer wiedergeben?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:05 Do 30.11.2006 | | Autor: | DaMenge |
hi,
also deine "begründung" war wesentlich zu kurz, aber du hast richtig erkannt, dass du surjektivität zeigen musst.
mathematisch zwingend würde das zum beispiel mit widerspruch recht schnell gehen : angenommen die funktion wäre nicht surjektiv, also gibt es (mindestens) ein bild, was nicht getroffen wird, also versuchst du n objekte auf (höchstens) n-1 objekte abzubilden - was folgt also nach dem schubfachprinzip ?!?
viele Grüße
DaMenge
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:31 Do 30.11.2006 | | Autor: | darwin |
danke, aber mein Problem ist vorwiegend die Mathematsche Darstellung dieses Sachverhalts.
Ist es denn hinreichend zu sagen, dass jedem Element der Urbildmenge ein anders f(a) zugeordnet wird und wegen der betragsmäßigen Geleichheit von Bild- und Urbildmenge kein Element der Bildmenge nicht Funktions wert ist?
Und wenn, könnte mir das mal einer umformulieren?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:08 Do 30.11.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi nochmal,
> danke, aber mein Problem ist vorwiegend die Mathematsche
> Darstellung dieses Sachverhalts.
du willst das schon beweisen, ja?
ich hab dir oben einen Ansatz eines beweises geschrieben, den müsstest du nur noch vervollständigen..
>
> Ist es denn hinreichend zu sagen, dass jedem Element der
> Urbildmenge ein anders f(a) zugeordnet wird und wegen der
> betragsmäßigen Geleichheit von Bild- und Urbildmenge kein
> Element der Bildmenge nicht Funktions wert ist?
>
hmm, alles was du hier als Prosa schreibst ist:
f ist injektiv und die Mengen sind gleichmächtig daraus folgt f ist surjektiv
du siehst hoffentlich selbst, dass da noch was fehlt, denn das ist nur eine Behauptung ohne Argument dafür.
was hast du denn gegen einen Widerspruchsbeweis einzuwenden?
das scheint mir hier das einfachste zu sein.
viele Grüße
DaMenge
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