Identitätssatz für Potenzreihe < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei [mm] R(z)=\summe_{n=0}^{\infty} a_{n}z^{n} [/mm] eine konvergente, komplexe Potenzreihe. Wenn es eine Nullfolge [mm] (z_{n})_{n} [/mm] in [mm] B_{\rho} [/mm] ohne 0 gibt, sodass [mm] R(z_{n})=0 [/mm] [mm] \forall n [/mm], dann folgt bereits: [mm] R(z)=0 [/mm] , d.h. [mm] a_{n}=0 [/mm] [mm] \forall n [/mm].
Folgerung:
Wenn zwei Potenzreihen auf einer Menge A mit Häufungspunkt 0 übereinstimmen, sind sie gleich. |
Hallo!
Ich hänge beim Beweis zu diesem Satz.
Man folgert zuerst aus der Konvergenz von R, dass [mm] \rho >0 [/mm] und daher [mm] limsup_{n \to \infty} \wurzel[n]{|a_{n}|} < \infty [/mm]. Daher existiert ein C mit [mm] |a_{n}| \le C^{n} [/mm] [mm] \forall n [/mm].
Wir nehmen an, dass [mm] R(z) \not= 0 [/mm], dann exisitert ein [mm] n_{0} \ge 0 [/mm] mit [mm] a_{n_{0}} \not= 0 [/mm] und [mm] a_{0}=...=a_{n_{0}}=0 [/mm].
Als nächster Schritt wird abgeschätzt:
[mm] |R(z)| \ge |a_{n_{0}}z^{n_{0}}| - \summe_{n=n_{0}+1}^{ \infty} |a_{n}z^{n}| [/mm]
Hier verstehe ich nicht ganz, warum auf der rechten Seite nicht noch einmal Betragsstriche außenrum gehören, denn ich habe mir überlegt:
[mm] |R(z)| =| \summe_{n=0}^{n_{0}-1} a_{n}z^{n} + a_{n_{0}}z^{n_{0}} + \summe_{n=n_{0}+1}^{ \infty} a_{n}z^{n}| = |a_{n_{0}}z^{n_{0}} + \summe_{n=n_{0}+1}^{ \infty} a_{n}z^{n}| \ge | |a_{n_{0}}z^{n_{0}} | - | \summe_{n=n_{0}+1}^{ \infty} a_{n}z^{n}| \ge | |a_{n_{0}}z^{n_{0}} | - | - \summe_{n=n_{0}+1}^{ \infty} |a_{n}z^{n}| | = | |a_{n_{0}}z^{n_{0}} | - \summe_{n=n_{0}+1}^{ \infty} |a_{n}z^{n}| | [/mm]
Was übersehe ich?
Kann mir hier jemand helfen? Das wäre super!
Grüße, Lily
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:55 Mo 04.08.2014 | | Autor: | fred97 |
Die umgekehtre Dreiecksungleichung lautet:
$| [mm] \quad [/mm] |z|-|w| [mm] \quad [/mm] | [mm] \le [/mm] |z+w|$
Aus ihr folgt natürlich auch
[mm] $|z|-|w|\le [/mm] |z+w|$,
denn [mm] $|z|-|w|\le| \quad [/mm] |z|-|w| [mm] \quad [/mm] |$
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:38 Mo 04.08.2014 | | Autor: | Mathe-Lily |
Autsch, stimmt ^^
Danke 
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