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Forum "Uni-Analysis-Komplexe Zahlen" - Imaginärteil
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Imaginärteil: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:05 Di 13.04.2010
Autor: MontBlanc

Aufgabe
Zeigen Sie, dass der Realteil von [mm] f\left(\bruch{1}{2}*e^{2*i*x}\right) [/mm] mit [mm] f(x)=log\left(z+\bruch{1}{2}\right) [/mm] gegeben ist durch log(cos(x)). Finden Sie auch den entsprechenden Imginärteil.

Hallo,

also den Realteil konnte ich finden. Nach Anwendung der "Doppelwinkelformeln" für sin(x) und cos(x) kann man den Logarithmus auf folgende Form bringen:

[mm] log(cos(x)*e^{i*x})=log(cos(x))+i*x+2*k*\pi*i [/mm]

In der Lösung sagt es nun aber [mm] k*\pi [/mm] . Das konnte ich nicht nachvollziehen. Dort heißt es, dass k irgendeine ganze Zahl sein kann, wenn cos(x)>0 und ungerade sein muss für cos(x)<0. Daher seinen Real- und Imaginärteil :

[mm] Re\left[f\left(\bruch{1}{2}*e^{2*i*x}\right)\right]=log(cos(x)) [/mm] und [mm] Im\left[f\left(\bruch{1}{2}*e^{2*i*x}\right)\right]=x+k*\pi [/mm]

Kann jemand licht in mein dunkel bringen ?

Lg

        
Bezug
Imaginärteil: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:26 Di 13.04.2010
Autor: Leopold_Gast

[Dateianhang nicht öffentlich]

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
Bezug
                
Bezug
Imaginärteil: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:42 Di 13.04.2010
Autor: MontBlanc

Hallo,

danke für deine Antwort... Leider konnte ich dem nicht entnehmen, warum dort nur [mm] k*\pi*i [/mm] steht und nicht [mm] 2*k*\pi*i [/mm] ... Vielleicht kann nochmal jemand kurz mit einem Text versuchen, das ganz zu erklären ?

Dankeschön :)

LG

Bezug
                        
Bezug
Imaginärteil: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:31 Di 13.04.2010
Autor: leduart

Hallo
an der Zeichnung siehst du, wenn sich x ändert, ändert sich der Winkel in der Mitte um 2x,
anders ausgedrückt [mm] e^{2ix}=e^{2ix+k*2\pi}=e^{2i*(x+k*\pi)} [/mm]
Gruss leduart

Bezug
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