Impl. Funktionen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Guten Morgen!
Ich übe mich gerade am Satz der imp. Funktionen.
Nun habe ich mir ein Kochrezept aufgestellt, wobei ich noch einige Schwierigkeiten habe, da ich nie weiss, was invertierbar sein sollte..
Kochrezept:
Geg.:
- F: [mm] \IR^{n} \to \IR^{l} [/mm] mit l<n, stetig diffbar
- Evtl. Punkt [mm] p_{0}
[/mm]
Ges.:
Ist F nach y auflösbar.
Lös.:
1) Löse F nach =0 auf.
2) Berechne die Jacobi-Matrix von F: DF=... & evtl. Punkt p einsetzen
3) Trenne die Koord. von DF in 2 Kategorien, wobei [mm] d_{y}F [/mm] die Variable ist, nach der man auflösen soll, die anderen Koord. von DF sind [mm] d_{y}F.
[/mm]
4) Wenn [mm] d_{y} [/mm] F invertierbar ist, kann man nach der gesuchten Variable auflösen.
Um zusätzlilch noch die Ableitung von y zu finden, also die Fkt. y'=f(x) von F(x,y)=0:
5) Berechne [mm] y'=-(d_{y}F)^{-1}*(d_{x}F)
[/mm]
Nun 2 Beispiele:
Bsp. 1:
Ist [mm] S^{1}={x^{2}+y^{2}=1} [/mm] nach y auflösbar?
1) [mm] F(x,y)=x^{2}+y^{2}-1
[/mm]
2) DF(2x,2y)
3) [mm] d_{y}F=2y
[/mm]
4) Ist invertierbar da [mm] y\not=0 \Rightarrow [/mm] auflösbar nach y
Bsp. 2
Kann man das folgende GLS
[mm] \begin{cases} u+v^{2}-w=0 \\ sin(u-v)-we^{w}=0 \end{cases}
[/mm]
in einer Umgebung (0,0) nach u,v,w auflösen?
In der Lösung steht nun: (für nach u auflösbar)
2) DF [mm] =\pmat{ 1 & 2v & -1 \\ cos(u-v) & -cos(u-v) & -e^{w}-we^{w} }
[/mm]
DF [mm] =\pmat{ 1 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & -1 }
[/mm]
3) [mm] d_{y}F=\pmat{ 0 & -1 \\ -1 & -1 }
[/mm]
4) [mm] d_{y} [/mm] F ist invertierbar [mm] \Rightarrow [/mm] auflösbar nach u
Das zweite Beispiel widerspricht meinem Kochrezept, da ja nach meinem Kochrezept [mm] d_{y}F=\pmat{ 1 \\ 1 } [/mm] sein sollte. Dies ist jedoch nicht invertierbar.
Könnte mir jemand weiterhelfen. Ich glaube es ist ein Notationsproblem das ich habe, aber ich blicke nicht durch.... :(
Liebe Grüsse
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:11 Fr 01.07.2011 | | Autor: | Babybel73 |
Hallo???
Kann mir niemand weiterhelfen??? :-(
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:35 Fr 01.07.2011 | | Autor: | felixf |
Moin,
> Hallo???
> Kann mir niemand weiterhelfen??? :-(
du hast die Frage doch gerade mal vor etwas ueber zwei Stunden gestellt. Und gesagt, dass es bis in 24 h Zeit hat. Hab doch ein wenig Geduld, frueher oder spaeter antwortet normalerweise schon jemand :)
LG Felix
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Hallo Babybel73,
> Guten Morgen!
>
> Ich übe mich gerade am Satz der imp. Funktionen.
>
> Nun habe ich mir ein Kochrezept aufgestellt, wobei ich noch
> einige Schwierigkeiten habe, da ich nie weiss, was
> invertierbar sein sollte..
>
> Kochrezept:
> Geg.:
> - F: [mm]\IR^{n} \to \IR^{l}[/mm] mit l<n, stetig diffbar
> - Evtl. Punkt [mm]p_{0}[/mm]
>
> Ges.:
> Ist F nach y auflösbar.
>
> Lös.:
> 1) Löse F nach =0 auf.
> 2) Berechne die Jacobi-Matrix von F: DF=... & evtl. Punkt
> p einsetzen
> 3) Trenne die Koord. von DF in 2 Kategorien, wobei [mm]d_{y}F[/mm]
> die Variable ist, nach der man auflösen soll, die anderen
> Koord. von DF sind [mm]d_{y}F.[/mm]
> 4) Wenn [mm]d_{y}[/mm] F invertierbar ist, kann man nach der
> gesuchten Variable auflösen.
> Um zusätzlilch noch die Ableitung von y zu finden, also
> die Fkt. y'=f(x) von F(x,y)=0:
> 5) Berechne [mm]y'=-(d_{y}F)^{-1}*(d_{x}F)[/mm]
>
> Nun 2 Beispiele:
> Bsp. 1:
> Ist [mm]S^{1}={x^{2}+y^{2}=1}[/mm] nach y auflösbar?
> 1) [mm]F(x,y)=x^{2}+y^{2}-1[/mm]
> 2) DF(2x,2y)
> 3) [mm]d_{y}F=2y[/mm]
> 4) Ist invertierbar da [mm]y\not=0 \Rightarrow[/mm] auflösbar nach
> y
>
> Bsp. 2
> Kann man das folgende GLS
> [mm]\begin{cases} u+v^{2}-w=0 \\ sin(u-v)-we^{w}=0 \end{cases}[/mm]
>
> in einer Umgebung (0,0) nach u,v,w auflösen?
Hier ist zu untersuchen, ob das Gleichungssstem in einer Umgebung von (0,0,0)
so aufgelöst werden kann, daß es Funktionen z.B. v(u), w(u) gibt.
>
> In der Lösung steht nun: (für nach u auflösbar)
> 2) DF [mm]=\pmat{ 1 & 2v & -1 \\ cos(u-v) & -cos(u-v) & -e^{w}-we^{w} }[/mm]
>
> DF [mm]=\pmat{ 1 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & -1 }[/mm]
> 3) [mm]d_{y}F=\pmat{ 0 & -1 \\ -1 & -1 }[/mm]
>
> 4) [mm]d_{y}[/mm] F ist invertierbar [mm]\Rightarrow[/mm] auflösbar nach u
>
Der Begriff "auflösen" hat hier eine andere Beduetung:
Das Gleichungssystem kann so aufgelöst werden,
daß es Funktionen [mm]v\left(u\right), \ w\left(u\right)[/mm]
in einer Umgebung des Punktes (0,0,0) gibt.
> Das zweite Beispiel widerspricht meinem Kochrezept, da ja
> nach meinem Kochrezept [mm]d_{y}F=\pmat{ 1 \\ 1 }[/mm] sein sollte.
> Dies ist jedoch nicht invertierbar.
Die Matrix [mm]d_{y}F[/mm] muss quadratisch sein.
>
> Könnte mir jemand weiterhelfen. Ich glaube es ist ein
> Notationsproblem das ich habe, aber ich blicke nicht
> durch.... :(
>
> Liebe Grüsse
>
Gruss
MathePower
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