Implikation beweisen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:04 Mi 04.04.2012 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | Zeigen Sie:
[mm] $\lim_{n\to\infty}\sup_{F\in\mathcal{F}}\left\vert\int_F g_n\, d\mu\right\vert [/mm] = [mm] 0\Longrightarrow g_n\to 0\text{ f.u.}$ [/mm] |
Hallo, liebe Leute!
Wie kann man das beweisen? Mir fehlt ein Ansatz.
[mm] \textbf{Edit:} [/mm] Hat das vllt. etwas mit dem [mm] \textit{Lemma v. Fatou} [/mm] zu tun? Daß man irgendwie die Grenzwertbildung unter das Integral ziehen kann?
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Hallo mikexx,
der schnellste Weg, der mir einfällt, wäre per Widerspruch.
Nimm mal an [mm]g_n \not\to 0[/mm], dann gibt es ein [mm] \varepsilon [/mm] und eine TF [mm] n_k, [/mm] so dass [mm] $|g_{n_k}| \ge \varepsilon [/mm] auf einer Menge [mm] $F_{n_k}$.
[/mm]
oBdA sei [mm] $g_{n_k} [/mm] > 0$, sonst betrachte [mm] $-g_{n_k}$
[/mm]
Kriegst den Rest nun allein hin?
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:06 Mi 04.04.2012 | | Autor: | mikexx |
> Hallo mikexx,
>
> der schnellste Weg, der mir einfällt, wäre per
> Widerspruch.
Okay.
>
> Nimm mal an [mm]g_n \not\to 0[/mm], dann gibt es ein [mm]\varepsilon[/mm] und
> eine TF [mm]n_k,[/mm] so dass [mm]$|g_{n_k}| \ge \varepsilon[/mm] auf einer
> Menge [mm]$F_{n_k}$.[/mm]
Wieso gibt es so eine Teilfolge?
Also ich nehme mal an, man meint hier die punktweise Konvergenz der Funktionenfolge? Wenn die Funktionenfolge nicht gegen 0 konvergiert, ist dann gemeint:
[mm] $\vert g_n(x)-\underbrace{g(x)}_{=0}\vert\geq\varepsilon [/mm] $ für alle x und jedes [mm] $\varepsilon [/mm] >0$ bzw. negativ formuliert:
Es gibt nicht zu jedem [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ ein [mm] $n_0\in\mathbb [/mm] N$, sodaß [mm] $\vert g_n(x)-\underbrace{g(x)}_{=0}\vert<\varepsilon$ [/mm] für alle [mm] $n\geq n_0$?
[/mm]
Das mit der Teilfolge (TF) verstehe ich jedoch nicht.
>
> oBdA sei [mm]g_{n_k} > 0[/mm], sonst betrachte [mm]-g_{n_k}[/mm]
>
> Kriegst den Rest nun allein hin?
Den Rest bekommt man dann mit Abschätzung (nach oben) hin?
>
> MFG,
> Gono.
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Hiho,
> Wieso gibt es so eine Teilfolge?
Das erklären wir ja gerade 
> Also ich nehme mal an, man meint hier die punktweise Konvergenz der Funktionenfolge?
Korrekt.
> Wenn die Funktionenfolge nicht gegen 0 konvergiert, ist dann gemeint:
>
> [mm]\vert g_n(x)-\underbrace{g(x)}_{=0}\vert\geq\varepsilon[/mm]
> für alle x und jedes [mm]\varepsilon >0[/mm] bzw. negativ
> formuliert:
Nein, wobei du unten was ganz anderes schreibst.
> Es gibt nicht zu jedem [mm]\varepsilon > 0[/mm] ein [mm]n_0\in\mathbb N[/mm],
> sodaß [mm]\vert g_n(x)-\underbrace{g(x)}_{=0}\vert<\varepsilon[/mm]
> für alle [mm]n\geq n_0[/mm]?
Genau!
Wobei man das nun noch schöner aufschreiben sollte. Dann sieht man auch sofort das Teilfolgen-Argument.
Dafür mal als Hilfestellung die formale Definition der punktweisen Konvergenz:
[mm] $\forall\,x\;\forall\,\varepsilon>0\;\exists\,n_0\;\forall\,n\ge n_0:\quad |g_n(x) [/mm] - g(x)| < [mm] \varepsilon$
[/mm]
Negiere das nun mal formal.
> Das mit der Teilfolge (TF) verstehe ich jedoch nicht.
Das machen wir dann, wenn du das mit der Negation verstanden hast
> Den Rest bekommt man dann mit Abschätzung (nach oben)
> hin?
Nach unten!
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:35 Mi 04.04.2012 | | Autor: | mikexx |
> Negiere das nun mal formal.
Ich versuche es.
[mm] \forall~x~\exists~\varepsilon>0~\nexists n_0: \vert g_n(x)-g(x)\vert <\varepsilon~\forall n\geq n_0$
[/mm]
Ist das korrekt negiert?
-------------vielleicht zu voreilig----------
Und kann man jetzt für die Abschätzung das so machen (sorry, wenn ich voreilig bin, aber ich habe gerade eine Idee und bevor ich sie wieder vergesse, poste ich sie mal):
[mm] $\lim_{n\to\infty}\sup_{F\in\mathcal{F}}\int_{F}\vert g_n\vert \, d\mu\geq \lim_{n\to\infty}\sup_{F\in\mathcal{F}}\left\vert\int_{F}g_n \, d\mu\right\vert$
[/mm]
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Hiho,
> Ist das korrekt negiert?
>
> -------------vielleicht zu voreilig----------
Ja! Da sag ich nur *autsch*, da fehlen Grundlagen. Nacharbeiten!
Es gilt:
[mm] $\neg\forall [/mm] x A(x) = [mm] \exists [/mm] x [mm] \neg [/mm] A(x)$
[mm] $\neg \exists [/mm] x A(x) = [mm] \forall [/mm] x [mm] \neg [/mm] A(x)$
Einen gleichbleibenden Quantor sowie ein [mm] $\nexists$ [/mm] kann es bei korrektem Negieren nie geben!
Also nochmal.
> Und kann man jetzt für die Abschätzung das so machen
> (sorry, wenn ich voreilig bin, aber ich habe gerade eine
> Idee und bevor ich sie wieder vergesse, poste ich sie
> mal):
>
> [mm]\lim_{n\to\infty}\sup_{F\in\mathcal{F}}\int_{F}\vert g_n\vert \, d\mu\geq \lim_{n\to\infty}\sup_{F\in\mathcal{F}}\left\vert\int_{F}g_n \, d\mu\right\vert[/mm]
Sicher "kannst" du das so machen, es bringt dir nur nichts 
Du willst ja einen Widerspruch konstruieren, d.h. du musst zeigen, dass [mm] $\lim_{n\to\infty}\sup_{F\in\mathcal{F}}\left\vert\int_{F}g_n \, d\mu\right\vert [/mm] > 0$ und das schaffst du nicht mit einer Abschätzung nach oben.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:54 Mi 04.04.2012 | | Autor: | mikexx |
>
> Es gilt:
>
> [mm]\neg\forall x A(x) = \exists x \neg A(x)[/mm]
> [mm]\neg \exists x A(x) = \forall x \neg A(x)[/mm]
Okay, ein hoffentlich schon besserer Versuch:
[mm] $\exists [/mm] x [mm] \neg(~\forall\varepsilon>0\exists n_0: \vert g_n(x)-g(x)\vert<\varepsilon\forall n\geq n_0)$
[/mm]
und das ist m.E. gleichwertig zu:
[mm] $\exists x\exists\varepsilon>0\neg(\exists n_0: \vert g_n(x)-g(x)\vert\<\varepsilon\forall n\geq n_0)$
[/mm]
gleichwertig zu
[mm] $\exists x\exists\varepsilon>0\forall n_0: \vert g_n(x)-g(x)\vert\geq\varepsilon\forall n\geq n_0$
[/mm]
Es ex. also ein [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] und eine Teilfolge [mm] (g_{n_k})_{k\in\mathbb N}$ [/mm] (gebildet aus Funktionen aus der Folge, die einen Index [mm] $n_k$ [/mm] haben, wobei [mm] $n_k\geq n_0$ [/mm] für irgendeines der [mm] $n_0$ [/mm] für die gilt: [mm] $\vert g_n(x)-g(x)\vert\geq\varepsilon~\forall~n\geq n_0$), [/mm] für die gilt [mm] $\vert g_{n_k}(x)-0\vert\geq\varepsilon$, [/mm] wobei das spezielle x, für das all' dies gilt aus irgendeiner der Mengen F stammt, die man z.B. [mm] $F_{n_k}$ [/mm] nennen kann.
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Hiho,
> Okay, ein hoffentlich schon besserer Versuch:
>
> [mm]\exists x \neg(~\forall\varepsilon>0\exists n_0: \vert g_n(x)-g(x)\vert<\varepsilon\forall n\geq n_0)[/mm]
>
> und das ist m.E. gleichwertig zu:
>
> [mm]\exists x\exists\varepsilon>0\neg(\exists n_0: \vert g_n(x)-g(x)\vert\<\varepsilon\forall n\geq n_0)[/mm]
>
> gleichwertig zu
>
> [mm]\exists x\exists\varepsilon>0\forall n_0: \vert g_n(x)-g(x)\vert\geq\varepsilon\forall n\geq n_0[/mm]
Du hast den letzten Quantor vergessen zu negieren, aber ansonsten passt das.
> Es ex. also ein [mm]$\varepsilon>0$[/mm] und eine Teilfolge
> [mm](g_{n_k})_{k\in\mathbb N}$[/mm] (gebildet aus Funktionen aus der
> Folge, die einen Index [mm]$n_k$[/mm] haben, wobei [mm]$n_k\geq n_0$[/mm]
> für irgendeines der [mm]$n_0$[/mm] für die gilt: [mm]$\vert g_n(x)-g(x)\vert\geq\varepsilon~\forall~n\geq n_0$),[/mm]
> für die gilt [mm]$\vert g_{n_k}(x)-0\vert\geq\varepsilon$,[/mm]
> wobei das spezielle x, für das all' dies gilt aus
> irgendeiner der Mengen F stammt, die man z.B. [mm]$F_{n_k}$[/mm]
> nennen kann.
Wobei es nicht ein x ist sein muss, sondern mehrere sein können!
Und die Menge dieser x nenne ich eben [mm] $F_{n_k}$ [/mm] und es gilt [mm] $\mu(F_{n_k}) [/mm] > 0$ (das folgt daraus, dass wir ja "nur" annehmen, dass [mm] $g_n \not\to [/mm] 0$ auf einer Nicht-Nullmenge! D.h. aber auch insbesondere, dass [mm] $\mu(F_{n_k}) \to [/mm] 0$ ebenfalls nicht gelten kann)
Nun beachte, dass gilt:
[mm] $\sup_{F\in\mathcal{F}}\left\vert\int_F g_{n_k}\, d\mu\right\vert \ge \left\vert\int_{F_{n_k}} g_{n_k}\, d\mu\right\vert \ge \left\vert\int_{F_{n_k}} \varepsilon\, d\mu\right\vert [/mm] = [mm] \varepsilon*\mu(F_{n_k})$
[/mm]
Und damit folgt der gewünschte Widerspruch.
Aber wirklich schön find ich das immer noch nicht *hm*
MFG,
Gono.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:59 Mi 04.04.2012 | | Autor: | mikexx |
Wieso kann man als Integrand [mm] $g_{n_k}$ [/mm] nehmen?
Wieso nicht in der Ungleichung zunächst [mm] $g_n$?
[/mm]
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Hiho,
> Wieso kann man als Integrand [mm]g_{n_k}[/mm] nehmen?
> Wieso nicht in der Ungleichung zunächst [mm]g_n[/mm]?
Wir betrachten ja die Folge [mm] $a_n [/mm] = [mm] \sup_{F\in\mathcal{F}}\left\vert\int_F g_n\, d\mu\right\vert$ [/mm] und wollen nun zeigen, dass [mm] $a_n \not\to [/mm] 0$.
Dafür reicht es aus, dass eine Teilfolge [mm] $a_{n_k}$ [/mm] existiert, die das nicht tut.
Nach unseren Vorbetrachtungen können wir über die [mm] g_n [/mm] aber bisher keine allgemeine Aussage machen, sondern nur über die Teilfolge [mm] $g_{n_k}$ [/mm] und daher betrachten wir (ganz dreist ) einfach nur die Teilfolge [mm] $a_{n_k}$.
[/mm]
MFG,
Gono.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:29 Sa 07.04.2012 | | Autor: | mikexx |
Vielen lieben Dank für Deine Hilfe!
[mm] \textit{mikexx}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:26 Do 05.04.2012 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen Sie:
>
> [mm]\lim_{n\to\infty}\sup_{F\in\mathcal{F}}\left\vert\int_F g_n\, d\mu\right\vert = 0\Longrightarrow g_n\to 0\text{ f.u.}[/mm]
>
> Hallo, liebe Leute!
>
> Wie kann man das beweisen? Mir fehlt ein Ansatz.
>
> [mm]\textbf{Edit:}[/mm] Hat das vllt. etwas mit dem [mm]\textit{Lemma v. Fatou}[/mm]
> zu tun? Daß man irgendwie die Grenzwertbildung unter das
> Integral ziehen kann?
>
>
Vieleicht bin ich heute morgen etwas verblödet, aber dennoch habe ich einige Bemerkungen zu obiger Frage.
1. Die Gemeinde der potentiellen Helfer in diesem Forum ist groß, aber niemand in dieser Gemeinde hat eine Ausbildung als Hellseher gemacht (mit möglicherweise einer Ausnahme: Angela).
2. Was ist der äußere Rahmen ? Ich vermute ein Maßraum (X, [mm] \mathcal{A}, \mu).
[/mm]
3. Was ist [mm] \mathcal{F} [/mm] ? Ich vermute [mm] \mathcal{F} \subseteq \mathcal{A}. [/mm] Das hilft aber nichts, denn was [mm] \mathcal{F} [/mm] genau ist, weiß ich immer noch nicht.
4. Was hat es mit der Folge [mm] (g_n) [/mm] auf sich ? Welche Eigenschaften hat sie ?
Ohne die Antworten auf die Fragen 2., 3. und 4. kann man nicht helfen.
@Gono: bist Du vielleicht doch ein ausgebildeter Hellseher ?
Gruß FRED
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| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:14 Do 05.04.2012 | | Autor: | mikexx |
Sorry, habe ich vergessen.
Also da steht:
[mm] $\mu$ [/mm] Maß auf [mm] $(X,\mathcal{F})$
[/mm]
und
[mm] $g_n\colon X\to\mathbb [/mm] R$
Würdest Du mit diesen ergänzten Informationen dem Lösungsweg zustimmen?
[mm] \textit{mikexx}
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:20 Sa 07.04.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:43 Sa 07.04.2012 | | Autor: | donquijote |
> Zeigen Sie:
>
> [mm]\lim_{n\to\infty}\sup_{F\in\mathcal{F}}\left\vert\int_F g_n\, d\mu\right\vert = 0\Longrightarrow g_n\to 0\text{ f.u.}[/mm]
>
Ohne zusätzliche Voraussetzungen stimmt die Aussage nicht. Wenn z.B. [mm] \mu [/mm] ein Wahrscheinlichkeitsmaß ist und [mm] (g_n) [/mm] eine beschränkte Folge ist, die stochastisch gegen 0 konvergiert, dann gilt
[mm] \lim_{n\to\infty}|g_n|\,d\mu\to [/mm] 0 mit [mm] \left\vert\int_F g_n\, d\mu\right\vert\le\int|g_n|\,d\mu [/mm] für alle [mm] F\in\mathcal{F}.
[/mm]
Aus stochastischer Konvergenz folgt aber bekanntlich nicht die fast sichere Konvergenz.
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