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so, nun hab ich hier noch was entdeckt was mich fraglich macht, und zwar haben wir ne regel aufgeschrieben, wie man die umkehrfunktion ableiten kann, und da setz ich bei [mm] e^{x} [/mm] alles ein und komm im letzten schritt auf [mm] \bruch{1}{f'(lny)}=\bruch{1}{e^{lny}}=\bruch{1}{y}, [/mm] ich jedoch hätte jetzt gedacht das ist [mm] \bruch{1}{\bruch{1}{y}}, [/mm] aber das kann man doch nicht einfach zu [mm] \bruch{1}{y} [/mm] machen, oder ?
die regel war übrigens [mm] (f^{-1})'(y_{0})=\bruch{1}{f'(x_{0})}=\bruch{1}{f'(f^{-1}(y_{0}))}
[/mm]
kann mir vielleicht jemand sagen wie man das für die ableitung von arctanx anwendet?
haben aufgeschrieben :
f'(tanx)=1+tan²x
[mm] (arctany)'=\bruch{1}{f'(f^{-1}(y))}=\bruch{1}{f'(arctany)}=\bruch{1}{1+tan²(arctany)}=\bruch{1}{1+y²}
[/mm]
vor allem den letzten schritt versteh ich überhaupt nicht, bzw den davor auch nicht
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Hallo James,
> so, nun hab ich hier noch was entdeckt was mich fraglich
> macht, und zwar haben wir ne regel aufgeschrieben, wie man
> die umkehrfunktion ableiten kann, und da setz ich bei [mm]e^{x}[/mm]
> alles ein und komm im letzten schritt auf
> [mm] $\red{\ln'(y)=}\bruch{1}{f'(lny)}=\bruch{1}{e^{lny}}=\bruch{1}{y}$ [/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") ich
> jedoch hätte jetzt gedacht das ist [mm]\bruch{1}{\bruch{1}{y}},[/mm]
Nein, wieso das? Es ist doch [mm] $e^{\ln(y)}=y$, [/mm] also [mm] $\frac{1}{e^{\ln(y)}}=\frac{1}{y}$, [/mm] wie es auch dasteht
> aber das kann man doch nicht einfach zu [mm]\bruch{1}{y}[/mm]
> machen, oder ?
Nein, [mm] $\frac{1}{\frac{1}{y}}=y$
[/mm]
>
> die regel war übrigens
> [mm](f^{-1})'(y_{0})=\bruch{1}{f'(x_{0})}=\bruch{1}{f'(f^{-1}(y_{0}))}[/mm]
>
> kann mir vielleicht jemand sagen wie man das für die
> ableitung von arctanx anwendet?
> haben aufgeschrieben :
> f'(tanx)=1+tan²x
>
> [mm] $(arctany)'=\bruch{1}{f'(f^{-1}(y))}=\bruch{1}{\red{f'(arctany)}}=\bruch{1}{1+tan²(arctany)}=\bruch{1}{1+y²}$
[/mm]
>
> vor allem den letzten schritt versteh ich überhaupt nicht,
> bzw den davor auch nicht
Da, wo es rot ist, brauchst du die Ableitung der Tangensfunktion, also von f, deren UKF ja der [mm] $\arctan$ [/mm] ist
Also [mm] $f(z)=\tan(z)=\frac{\sin(z)}{\cos(z)}\Rightarrow f'(z)=\frac{1}{\cos^2(z)}$ [/mm] nach Quotientenregel (--> nachrechnen)
[mm] $=\frac{\cos^2(z)+\sin^2(z)}{\cos^2(z)}=1+\frac{\sin^2(z)}{\cos^2(z)}=\blue{1+\tan^2(z)}$
[/mm]
Das wird nun eingesetzt:
[mm] $\bruch{1}{\red{f'(\arctan(y))}}=\bruch{1}{\blue{\tan'}(\arctan(y))}=\bruch{1}{\blue{1+\tan^2}(\arctan(y))}=\bruch{1}{\blue{1+\tan}(\arctan(y))\cdot{}\blue{\tan}(\arctan(y))}=\bruch{1}{1+y\cdot{}y}$
[/mm]
Denn Tangens und Arcustangens sind gegenseitig Umkehrfunktionen
[mm] $=\bruch{1}{1+y^2}$
[/mm]
LG
schachuzipus
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hey danke,
d.h. also das tan(arctan(y)) sich gegenseitig aufheben und nur y übrigbleibt ?
so würde das ganze dann auch sinn ergeben ^^
achso und das oben mit [mm] \bruch{1}{f'(lny)}, [/mm] ich hätte da jetzt halt einfach unten abgeleitet zu [mm] \bruch{1}{y} [/mm] und wäre dementsprechend auf [mm] \bruch{1}{\bruch{1}{y}} [/mm] gekommen, aber wieso die das oben zu [mm] e^{lny} [/mm] und dann einfach das [mm] e^{ln} [/mm] weggelassen haben, verstehe ich nicht,
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Hallo nochmal,
> hey danke,
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> d.h. also das tan(arctan(y)) sich gegenseitig aufheben und
> nur y übrigbleibt ?
Ja, die Verknüpfung von Umkehrfunktionen ergibt die identischer Abbildung, und wenn du die auf y anwendest, passiert nicht viel 
> so würde das ganze dann auch sinn ergeben ^^
>
>
> achso und das oben mit [mm]\bruch{1}{f'(lny)},[/mm] ich hätte da
> jetzt halt einfach unten abgeleitet zu [mm]\bruch{1}{y}[/mm] und
> wäre dementsprechend auf [mm]\bruch{1}{\bruch{1}{y}}[/mm] gekommen,
Moment, Moment, mache dir klar, dass du f ableitest, wobei f die Umkehrfunktion von [mm] $\ln$ [/mm] ist, also [mm] $f(z)=e^z$, [/mm] damit [mm] $f'(z)=e^z$
[/mm]
Du hast also (nochmal einen Schritt ausführlicher) mit [mm] $f^{-1}(z)=\ln(z)$ [/mm] und [mm] $f(z)=e^z=exp(z)$
[/mm]
[mm] $\ln'(y)=\frac{1}{f'(\ln(y))}=\frac{1}{exp'(\ln(y))}=\frac{1}{exp(\ln(y))}=\frac{1}{id(y)}=\frac{1}{y}$
[/mm]
> aber wieso die das oben zu [mm]e^{lny}[/mm] und dann einfach das
> [mm]e^{ln}[/mm] weggelassen haben, verstehe ich nicht,
Na, die e-Funktion und der [mm] \ln [/mm] sind doch wieder Umkehrfunktionen zueinander, verknüpft man sie, so ergibt das die identische Abb.
[mm] $e^{\ln(z)}=exp(\ln(z))=id(z)=z$ [/mm] und andersherum [mm] $\ln\left(e^z\right)=z\cdot{}\ln(e)=z\cdot{}1=z$
[/mm]
LG
schachuzipus
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ahh jetzt hab ichs begriffen, danke vielmals !
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