Implizite Differentation < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:28 Sa 23.10.2010 | | Autor: | Count144 |
| Aufgabe | Finden Sie durch implizite Differentation die Ableitung y' der durch die Gleichung F(x,y)=0 definierten Funktion y(x):
a) F(x,y) = [mm] x^{2}y [/mm] + [mm] xy^{2} [/mm] - 6
b) F(x,y) = x + tan(x,y) |
Hallo,
Also, kommr mit diesen Funktionen nicht so gut zurecht.
Bei der a habe ich z.B. folgendes als Ergebnis:
2xy + [mm] y'x^{2} [/mm] + [mm] y^{2} [/mm] + yx * y' = 0
Ist das richtig? Und wenn ja, wie gehts weiter? Ich müsste doch dann nach y' auflösen, aber das kriege ich irgendwie nicht hin.
Danke für jede Hilfe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:41 Sa 23.10.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Finden Sie durch implizite Differentation die Ableitung y'
> der durch die Gleichung F(x,y)=0 definierten Funktion
> y(x):
>
> a) F(x,y) = [mm]x^{2}y[/mm] + [mm]xy^{2}[/mm] - 6
> b) F(x,y) = x + tan(x,y)
> Hallo,
>
> Also, kommr mit diesen Funktionen nicht so gut zurecht.
>
> Bei der a habe ich z.B. folgendes als Ergebnis:
>
> 2xy + [mm]y'x^{2}[/mm] + [mm]y^{2}[/mm] + yx * y' = 0
ein kleiner Fehler letzter Term ist 2*x*y*y`
Terme mit y' auf eine Seite, Rest auf die andere , y' ausklammern und dann danach auflösen.
nach y' auflösen ist nicht schwerer als ax+bx+c+d=0 nach x auflösen! irgendwie lässt du dich wohl dadurch beirren das da ausser y# das du suchst noch y steht!
Im Ergebnis dar noch y und x vorkommen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:51 Sa 23.10.2010 | | Autor: | Count144 |
Danke sehr. Nur wie bist du auf diesen Term gekommen? Ich finde meinen Fehler nämlich nicht. Nochmal meine Lösung:
(2xy + y' * [mm] x^{2}) [/mm] + [mm] (y^2 [/mm] + y * y' *x) = 0
2xy + y' [mm] x^{2} [/mm] + [mm] y^{2} [/mm] + yx * y' = 0
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Hallo Count144,
> Danke sehr. Nur wie bist du auf diesen Term gekommen? Ich
> finde meinen Fehler nämlich nicht. Nochmal meine Lösung:
>
> (2xy + y' * [mm]x^{2})[/mm] + [mm](y^2[/mm] + y * y' *x) = 0
>
> 2xy + y' [mm]x^{2}[/mm] + [mm]y^{2}[/mm] + yx * y' = 0
Differenziert wird:
[mm]x^{2}*y\left(x\right)+x*\left(\ y\left(x\right) \ \right)^{2}-6=0[/mm]
Die Ableitung von [mm]\left(\ y\left(x\right) \ \right)^{2}[/mm] ergibt sich nach der Kettenregel.
[mm]\underbrace{2*y\left(x\right)}_{\operatorname{aeussere \ Ableitung}}*\underbrace{y'\left(x\right)}_{\operatorname{innere \ Ableitung}}[/mm]
Bei der Bildung der äusseren Ableitung fand die Potenzregel Anwendung.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:06 Sa 23.10.2010 | | Autor: | Count144 |
Ach so verstehe. Aber muss ich da keine Produktregel anwenden? Oder verstehe ich da was falsch? Da steht ja x * [mm] y^{2}. [/mm] Also muss man da jetzt Kettenregel UND Produktregel anwenden oder wie?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:10 Sa 23.10.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo!
> Also muss man da jetzt Kettenregel UND Produktregel anwenden?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Genau!
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:15 Sa 23.10.2010 | | Autor: | Count144 |
Super. Sry möchte nicht "nerven", aber hab noch zwei Fragen. xD Wie gesagt, möchte solche Mathesachen verstehn. Deswegen frage ich auch häufig, ob etwas richtig ist oder so.
Man könnte das (also die Lösung der Aufgabe a) doch jetzt mit einer direkten Rechnung vergleichen, indem man die Gleichung nach y auflöst?
Das geht bei Aufgabe a aber nicht, oder?
Und bei der Aufgabe b. Ich weiß nicht, wie man den tan ableiten soll. Klar ist das sin /cos, aber da steht ja ein Produkt in den Klammern. Wie kann man damit beim Ableiten umgehen? Und wie könnte ich diese Gleichung einfach so nach y auflösen? Eigentlich sollte das gehn, da es ja nur ein y gibt.
Danke sehr für Hilfe. Ich weiß das echt zu schätzen
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Hallo Count144,
> Super. Sry möchte nicht "nerven", aber hab noch zwei
> Fragen. xD Wie gesagt, möchte solche Mathesachen verstehn.
> Deswegen frage ich auch häufig, ob etwas richtig ist oder
> so.
>
> Man könnte das (also die Lösung der Aufgabe a) doch jetzt
> mit einer direkten Rechnung vergleichen, indem man die
> Gleichung nach y auflöst?
Ja.
>
> Das geht bei Aufgabe a aber nicht, oder?
>
> Und bei der Aufgabe b. Ich weiß nicht, wie man den tan
> ableiten soll. Klar ist das sin /cos, aber da steht ja ein
> Produkt in den Klammern. Wie kann man damit beim Ableiten
> umgehen? Und wie könnte ich diese Gleichung einfach so
> nach y auflösen? Eigentlich sollte das gehn, da es ja nur
> ein y gibt.
Die Ableitung wird mit Hilfe der Kettenregel gebildet.
Das Ableitunng von [mm]x*y\left(x\right)[/mm] wird nach der Produktregel gebildet.
Mit der Gleichungsauflösung hast Du recht.
>
> Danke sehr für Hilfe. Ich weiß das echt zu schätzen
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:42 So 24.10.2010 | | Autor: | Count144 |
Habs mal versucht, aber hab immer noch ein paar Probleme damit.
Ich nutze ja die Regel tan x = sin x / cos x aus.
Dann wäre die äußere Ableitung doch
[mm] \bruch{sin(x \* y)}{cos(x \* y)}
[/mm]
Aber bei der äußeren Ableitung müsste man dann doch schon die Quotientenregel anwenden, oder? Dann wüsste ich aber nicht, wie man die innere Ableitung bilden soll.
Kann mir jemand helfen bzw. einen Ansatz geben?
Danke ;)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:59 So 24.10.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] (tan(x))'=(sin(x)/cos(x))'=(cos^2(x)+sin^2(x))/cos^2(x)=1/cos^2(x)=1+tan^2(x)
[/mm]
und (xy)'=y+xy' nach Produktregel.
jetzt mit Kettenregel zusammensetzen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:07 So 24.10.2010 | | Autor: | Count144 |
Dann stände da ja
(1 + [mm] tan^{2}(x)) \* [/mm] (y + y' [mm] \* [/mm] x)
y + [mm] tan^2(x) \* [/mm] y + y' [mm] \* [/mm] x + [mm] tan^{2}(x) \* [/mm] y'x=0
Dann müsste ja alles ohne y' auf die andere seite. Stimmts bis dahin?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:17 So 24.10.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Dann stände da ja
>
> (1 + [mm]tan^{2}(x)) \*[/mm] (y + y' [mm]\*[/mm] x)
nein, im tan steht natürlich weiter x*y
also $(tan(xy)'=(1 + [mm] tan^{2}(xy)) [/mm] \ (y + y' \ x)$
dann nach y' auflösen
> Dann müsste ja alles ohne y' auf die andere seite. Stimmts
> bis dahin?
s.o.
Bitte schreib jeweils die fkt, die du differenzierst hin, damit man nicht ewig in den alten posts suchen muss.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:24 So 24.10.2010 | | Autor: | Count144 |
Ok, mach ich gerne.
Also die Funktion war F(x,y) = x + tan(xy)
Wenn man dein Ergebnis von eben ausmuliplizieren würde, dann stände dort
(1 + [mm] tan^{2}(xy)) \* [/mm] (y + y'x) = 0
y + y'x + [mm] tan^{2}(xy) \* [/mm] y + [mm] $tan^{2}(xy)$ \* [/mm] y'x = 0
Stimmt das soweit? Und wie löst man jetzt ungefähr nach y' auf. Bin grad etwas verwirrt, was das angeht.
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Hallo Count,
> Ok, mach ich gerne.
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> Also die Funktion war F(x,y) = x + tan(xy)
>
> Wenn man dein Ergebnis von eben ausmuliplizieren würde,
Warum sollte man das tun wollen?
Ziel ist doch, nach [mm]y'[/mm] aufzulösen ...
> dann stände dort
>
> (1 + [mm]tan^{2}(xy)) \*[/mm] (y + y'x) = 0
Hinzu kommt die Ableitung von [mm]\red{x}[/mm] aus [mm]F(x,y)=\red{x}+\tan(xy)=0[/mm]
Also [mm]\red{1}+(1+\tan^2(xy))\cdot{}(y+y'x)=0[/mm]
Nun bringe die rote 1 auf die andere Seite:
[mm](1+\tan(xy))\cdot{}(y+y'x)=-1[/mm]
Nun nach [mm]y'[/mm] auflösen ...
Das ist doch nicht schwer!
>
> y + y'x + [mm]tan^{2}(xy) \*[/mm] y + [mm]tan^{2}(xy)[/mm] [mm]\*[/mm] y'x = 0
>
> Stimmt das soweit? Und wie löst man jetzt ungefähr nach
> y' auf. Bin grad etwas verwirrt, was das angeht.
s.o.
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:48 So 24.10.2010 | | Autor: | Count144 |
Ach so, verstehe.
Hatte eben noch eine 0 auf der rechten Seite der Gleichung stehn.
Also steht da jetzt:
[mm] \bruch{1}{(1 + tan (xy)) \* x}- \bruch{1}{x} [/mm] = y'
Stimmt das?
Wie ginge das denn mit einer direkten Rechnung, also das man die Gleichung x+ tan (xy) direkt nach y umformt? Der "Lehrer" meinte, dass das sinnvoll wäre. Müsste eigentlich auch gehn, da es nur ein y gibt.
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Hallo Count144,
> Ach so, verstehe.
>
> Hatte eben noch eine 0 auf der rechten Seite der Gleichung
> stehn.
>
> Also steht da jetzt:
>
> [mm]\bruch{1}{(1 + tan (xy)) \* x}- \bruch{1}{x}[/mm] = y'
>
> Stimmt das?
Korrekt muss das so lauten:
[mm]\red{-}\bruch{1}{(1 + tan^{\blue{2}} (xy)) \* x}- \bruch{1}{x} = y'[/mm]
>
> Wie ginge das denn mit einer direkten Rechnung, also das
> man die Gleichung x+ tan (xy) direkt nach y umformt? Der
Nun, nach y umformen und nach x differenzieren.
> "Lehrer" meinte, dass das sinnvoll wäre. Müsste
> eigentlich auch gehn, da es nur ein y gibt.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:45 So 24.10.2010 | | Autor: | Count144 |
Verstehe. Nur wie kriegt man dann das y aus dem tangens?
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Hallo nochmal,
> Verstehe. Nur wie kriegt man dann das y aus dem tangens?
Na, du wirst die Umkehrfunktion des Tangens, den Arcustangens anwenden müssen.
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:54 So 24.10.2010 | | Autor: | Count144 |
Hmm, bin da nicht so gut drin.
Stände da dann sowas hier:
arctan(x) + xy = 0
y = [mm] \bruch{- arctan(x)}{x} [/mm] ?
Ähm, wenn das stimmt, wie leitet man denn dann den arctan ab oder muss man das garnicht mehr?
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Hallo Count144,
> Hmm, bin da nicht so gut drin.
>
> Stände da dann sowas hier:
>
> arctan(x) + xy = 0
Nein, löse doch einfach die Gleichung
[mm]\tan\left(x*y\right)+x=0[/mm]
auf.
Das "x" auf die rechte Seite gebracht:
[mm]\tan\left(x*y\right)=-x[/mm]
Dann die Umkehrfunktion des Tangens angewendet:
[mm]\operatorname{arctan}\left( \ \tan\left(x*y\right) \ \right)=\operatorname{arctan}\left(-x\right)[/mm]
[mm]\gdw x*y= \operatorname{arctan}\left(-x\right)=-\operatorname{arctan}\left(x\right)[/mm]
[mm]\Rightarrow y=-\bruch{\operatorname{arctan}\left(x\right}{x}[/mm]
>
> y = [mm]\bruch{- arctan(x)}{x}[/mm] ?
>
> Ähm, wenn das stimmt, wie leitet man denn dann den arctan
> ab oder muss man das garnicht mehr?
Ableiten muss man schon noch.
Es ist: [mm]\left( \ \operatorname{arctan}\left(x\right) \ \right)'=\bruch{1}{1+x^{2}}[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:25 So 24.10.2010 | | Autor: | Count144 |
Dann käme da doch raus (also mit Quotientenregel)
[mm] \bruch{-1 - (2x \* (-arctan(x))}{x^2}
[/mm]
Aber der Vergleich ist damit noch nicht gegeben oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:44 So 24.10.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
das ist ziemlich falsch, wo bleiobt denn die Ableitung des arctan?
Schreib deinen Rechenweg mit auf, damit man weiss, was du falsch machst.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:59 So 24.10.2010 | | Autor: | Count144 |
Ok, mach ich.
Also, nach Umformen nach y kam ja das hier raus:
y = [mm] \bruch{-arctan(x)}{x}
[/mm]
Und es gilt:
(arctan(x))' = [mm] \bruch{1}{1+x^{2}}
[/mm]
Hab jetzt für y' die Quotientenregel angewandt.
[mm] \bruch{\bruch{-1}{1+x^{2}} \* (1+x^{2}) - 2x \* (-arctan(x))}{x^{2}}
[/mm]
Daraus folgt:
[mm] \bruch{-1 - 2x \* (-arctan(x))}{x^{2}}
[/mm]
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Hallo Count144,
> Ok, mach ich.
>
> Also, nach Umformen nach y kam ja das hier raus:
>
> y = [mm]\bruch{-arctan(x)}{x}[/mm]
>
> Und es gilt:
>
> (arctan(x))' = [mm]\bruch{1}{1+x^{2}}[/mm]
>
> Hab jetzt für y' die Quotientenregel angewandt.
>
> [mm]\bruch{\bruch{-1}{1+x^{2}} \* (1+x^{2}) - 2x \* (-arctan(x))}{x^{2}}[/mm]
[mm]\bruch{\bruch{-1}{1+x^{2}} \* \blue{(1+x^{2})} - \blue{2x} \* (-arctan(x))}{x^{2}}[/mm]
Woher kommen die blau markierten Ausdrücke?
>
> Daraus folgt:
>
> [mm]\bruch{-1 - 2x \* (-arctan(x))}{x^{2}}[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:19 So 24.10.2010 | | Autor: | Count144 |
Nachdem du das markiert hast, ist mir der Fehler aufgefallen. Da müsste stehn:
[mm] \bruch{\bruch{-1}{1+x^{2}} \* x - 1 \* (-arctan(x))}{x^{2}}
[/mm]
Oder?
Und wie vereinfacht man das jetzt?
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Hallo Count 144,
> Nachdem du das markiert hast, ist mir der Fehler
> aufgefallen. Da müsste stehn:
>
> [mm]\bruch{\bruch{-1}{1+x^{2}} \* x - 1 \* (-arctan(x))}{x^{2}}[/mm]
>
> Oder?
Jetzt stimmt's.
>
> Und wie vereinfacht man das jetzt?
Dividiere z.B. jeden Summanden im Zähler durch [mm]x^{2}[/mm].
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:34 So 24.10.2010 | | Autor: | Count144 |
Dann kam folgendes heraus:
[mm] \bruch{\bruch{-x}{1+x^{2}} + arctan(x)}{x^{2}}
[/mm]
[mm] \bruch{\bruch{-x}{1+x^{2}}}{x^{2}} [/mm] + [mm] \bruch{arctan(x)}{x^{2}}
[/mm]
Aber fertig bin ich noch nicht oder?
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Hallo Count144,
> Dann kam folgendes heraus:
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> [mm]\bruch{\bruch{-x}{1+x^{2}} + arctan(x)}{x^{2}}[/mm]
>
> [mm]\bruch{\bruch{-x}{1+x^{2}}}{x^{2}}[/mm] +
> [mm]\bruch{arctan(x)}{x^{2}}[/mm]
Ich meinte so:
[mm]\bruch{\bruch{-1}{1+x^{2}}}{x}} + \bruch{arctan(x)}{x^{2}}[/mm]
[mm]=\bruch{-1}{\left(1+x^{2}\right)*x}+ \bruch{arctan(x)}{x^{2}}[/mm]
> Aber fertig bin ich noch nicht oder?
Wenn Du auf die Ableitung kommen willst,
die Du durch implizites Differenzieren erhalten hast,
dann bist Du noch nicht fertig.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:49 So 24.10.2010 | | Autor: | Count144 |
Ich müsste doch dann noch den arctan wegkriegen? Aber wie?
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Hallo Count⁴144,
> Ich müsste doch dann noch den arctan wegkriegen? Aber wie?
Die Ersetzungen, die Du vorzunehmen hast, erhältst Du alle
aus der gegebenen Gleichung
[mm]x+\tan\left(x*y\right)=0[/mm]
So kannst Du das x in [mm]1+x^{2}[/mm] ersetzen durch [mm]-\tan\left(x*y\right)[/mm],
und den [mm]\operatorname{arctan}\left(x\right)[/mm] durch [mm]-x*y[/mm].
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:12 So 24.10.2010 | | Autor: | Count144 |
Aber dann steht da doch:
- [mm] \bruch{-1}{1+(tan^{2}(xy)) \* x} [/mm] - [mm] \bruch{y}{x}
[/mm]
Das mit dem y kann doch nicht stimmen?
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Hallo Count144,
> Aber dann steht da doch:
>
> - [mm]\bruch{-1}{1+(tan^{2}(xy)) \* x}[/mm] - [mm]\bruch{y}{x}[/mm]
>
> Das mit dem y kann doch nicht stimmen?
Da hat sich ein Vorzeichenfehler eingeschlichen:
[mm]\bruch{-1}{\left(1+x^{2}\right)*x}+ \bruch{arctan(x)}{x^{2}}[/mm]
[mm]=\bruch{-1}{\left(1+\left(-\tan\left(x*y\right)^{2}\right)\right)*x}+ \bruch{-x*y}{x^{2}}[/mm]
[mm]=\bruch{-1}{\left(1+\left(-1\right)^{2}\left(\tan\left(x*y\right)^{2}\right)\right)*x}- \bruch{y}{x}[/mm]
[mm]=\bruch{-1}{\left(1+\left(\tan\left(x*y\right)^{2}\right)\right)*x}- \bruch{y}{x}[/mm]
[mm]=\bruch{-1}{\left(1+\tan^{2}\left(x*y\right)\right)*x}- \bruch{y}{x}[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:32 So 24.10.2010 | | Autor: | Count144 |
Verstehe, aber was mache ich mit dem y da drin?
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Hallo Count144,
> Verstehe, aber was mache ich mit dem y da drin?
Das "y" bleibt so stehen wie es ist.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:53 So 24.10.2010 | | Autor: | Count144 |
Dann wär man doch fertig?
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Hallo Count144,
> Dann wär man doch fertig?
Ja.
Gruss
MathePower
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