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| Aufgabe | | Der Kreis (x - [mm] 2)^2 [/mm] + (y - [mm] 1)^2 [/mm] = 25 schneidet die Gerade x = 4 in den Punkten P und Q. Bestimmen Sie durch implizite Differentiation den Anstieg der Kreistangenten in den beiden Punkten P und Q. |
Mein Gang:
Wir haben die Gerade x = 4. Wir setzten dieses x in die Kreisgleichung ein =>
(4 - [mm] 2)^2 [/mm] + (y - [mm] 1)^2 [/mm] = 25
4 + [mm] y^2 [/mm] - y + 1 = 25
[mm] y^2 [/mm] - y - 20 = 0
=> [mm] y_1 [/mm] = 5, [mm] y_2 [/mm] = -4, nun haben wir die beiden Puntke P(4/5) und P(4/-4)
(x - [mm] 2)^2 [/mm] + (f(x) - [mm] 1)^2 [/mm] = 25 => Ableiten
2 * (x - 2) * 1 + 2 * (f(x) - 1) * f'(x) = 0 => Umformen
f'(x) = [mm] \bruch{x - 2}{-(f(x) - 1)} [/mm] = [mm] \bruch{x - 2}{-(y - 1)}
[/mm]
die beiden Punkte eingesetzt, ergibt dann:
Steigung 1: [mm] -\bruch{1}{2}
[/mm]
Steigung 2: [mm] -\bruch{2}{5}
[/mm]
Stimmt das so?
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Hallo john_rambo,
Es gilt: [mm] $(4-2)^2 [/mm] + [mm] (y-1)^2 [/mm] = 25 [mm] \Leftrightarrow 4+y^2 -\textcolor{red}{2}y [/mm] + 1 = 25$
Viele Grüße
Karl
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Stimmt denn der Rechenweg?
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Der Rechenweg stimmt. Allerdings lohnt es sich nicht auzuquadrieren. Löse lieber
<IMG class=latex [mm] alt=$(4-2)^2+(y-1)^2=5$ [/mm] src="http://teximg.matheraum.de/render?d=108&s=$(4-2)%5E2%2B(y-1)%5E2%3D5$" _cke_realelement="true">
direkt nach y-1 auf. Genau dieses y-1 kommt ja auch in deinem Nenner vor.
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