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Implizite Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:31 Mi 30.07.2014
Autor: rollroll

Aufgabe
Sei F: [mm] IR^2 [/mm] --> IR, [mm] F(x,y)=x^2y+y^3-3y+x. [/mm]
a) Für welche Punkte [mm] x_0 \in [/mm] IR existieren ein offenes Intervall I [mm] \subset [/mm] IR mit [mm] x_0 \in [/mm] I und eine unendlich oft diffbare Funktion g: I --> IR mit [mm] g(x_0)=1 [/mm] und F(x,g(x))=0 für alle x [mm] \in [/mm] I?
b) Sei g: I-->IR eine Funktion wie in a). Berechne nahe [mm] x_0 [/mm] die Ableitung g' von g in Abhängigkeit von x und g(x).

Hallo,

also F ist stetig partiell diffbar mit grad F(x,y)= [mm] (2xy+1,x^3+3y^2-3). [/mm] Um den Satz über implizite Funktionen verwenden zu können, muss ja [mm] F(x_0,1)=0 [/mm] sein, also muss [mm] x_0=1 [/mm] oder [mm] x_0=-2 [/mm] sein. In diesen Fällen ist [mm] \bruch{\partial F}{\partial y} (x_0,1) [/mm] ungleich 0, also invertierbar. Dann existieren offene Umgebungen I von [mm] x_0 [/mm] und U von 0 und eine unendlich oft diffbare Funktion g: I -->U mit {(x,y) [mm] \in [/mm] I x U; F(x,y)=0}={(x,g(x)), x [mm] \in [/mm] I}. Außerdem ist g'(x)= [mm] -\bruch{\partial F}{\partial y} (x,g(x))^{-1} \bruch{\partial F}{\partial x} [/mm] (x,g(x))

        
Bezug
Implizite Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:42 Mi 30.07.2014
Autor: MathePower

Hallo rollroll,

> Sei F: [mm]IR^2[/mm] --> IR, [mm]F(x,y)=x^2y+y^3-3y+x.[/mm]
>  a) Für welche Punkte [mm]x_0 \in[/mm] IR existieren ein offenes
> Intervall I [mm]\subset[/mm] IR mit [mm]x_0 \in[/mm] I und eine unendlich oft
> diffbare Funktion g: I --> IR mit [mm]g(x_0)=1[/mm] und F(x,g(x))=0
> für alle x [mm]\in[/mm] I?
>  b) Sei g: I-->IR eine Funktion wie in a). Berechne nahe
> [mm]x_0[/mm] die Ableitung g' von g in Abhängigkeit von x und
> g(x).
>  Hallo,
>  
> also F ist stetig partiell diffbar mit grad F(x,y)=
> [mm](2xy+1,x^3+3y^2-3).[/mm] Um den Satz über implizite Funktionen


Das muss doch hier lauten:

[mm](2xy+1,x^{\blue{2}}+3y^2-3).[/mm]


> verwenden zu können, muss ja [mm]F(x_0,1)=0[/mm] sein, also muss
> [mm]x_0=1[/mm] oder [mm]x_0=-2[/mm] sein. In diesen Fällen ist
> [mm]\bruch{\partial F}{\partial y} (x_0,1)[/mm] ungleich 0, also


[ok]


> invertierbar. Dann existieren offene Umgebungen I von [mm]x_0[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)


> und U von 0 und eine unendlich oft diffbare Funktion g: I
> -->U mit {(x,y) [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

I x U; F(x,y)=0}={(x,g(x)), x [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

I}.

> Außerdem ist g'(x)= [mm]-\bruch{\partial F}{\partial y} (x,g(x))^{-1} \bruch{\partial F}{\partial x}[/mm]
> (x,g(x))


[ok]


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
Implizite Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:44 Mi 30.07.2014
Autor: rollroll

Zum Schluss bei der Ableitung von g' denke ich muss man doch noch etwas einsetzen, aber ich weiß nicht genau was... Wie sieht das korrekterweise aus?

Bezug
                        
Bezug
Implizite Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:59 Mi 30.07.2014
Autor: MathePower

Hallo rollroll,


> Zum Schluss bei der Ableitung von g' denke ich muss man
> doch noch etwas einsetzen, aber ich weiß nicht genau
> was... Wie sieht das korrekterweise aus?


Das passt schon so.

Das kann man aber auch so schreiben:

[mm]g'\left(x}\right)=- \left \bruch{\bruch{\partial F\left(x,y\right)}{\partial x}}{\bruch{\partial F\left(x,y\right)}{\partial y}}\right|_{\left(x, \ g\left(x\right) \ \right)}[/mm]


Gruss
MathePower

Bezug
                                
Bezug
Implizite Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:30 Mi 30.07.2014
Autor: rollroll

Muss man nicht für x -1 bzw. 2 und für g(x) 1 einsetzen und dann die Ableitung von F jeweils an diesen Punkten auswerten?

Bezug
                                        
Bezug
Implizite Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:38 Mi 30.07.2014
Autor: MathePower

Hallo rollroll,

> Muss man nicht für x -1 bzw. 2 und für g(x) 1 einsetzen
> und dann die Ableitung von F jeweils an diesen Punkten
> auswerten?


Da hast Du vollkommen recht.


Gruss
MathePower

Bezug
                                                
Bezug
Implizite Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:42 Mi 30.07.2014
Autor: rollroll

Also so?

g'(x)=-3, wenn [mm] x_0=1 [/mm]
und
g'(x)=16, wenn [mm] x_0=-2 [/mm]

Bezug
                                                        
Bezug
Implizite Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:50 Mi 30.07.2014
Autor: MathePower

Hallo rollroll,

> Also so?
>  
> g'(x)=-3, wenn [mm]x_0=1[/mm]


[ok]


>  und
>  g'(x)=16, wenn [mm]x_0=-2[/mm]  


Das musst Du nochmal nachrechnen.


Gruss
MathePower

Bezug
                                                                
Bezug
Implizite Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:10 Mi 30.07.2014
Autor: rollroll

Dann erhalte ich im zweiten fall 3/4.

Bezug
                                                                        
Bezug
Implizite Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:12 Mi 30.07.2014
Autor: MathePower

Hallo rollroll,

> Dann erhalte ich im zweiten fall 3/4.


Jetzt stimmts. [ok]


Gruss
MathePower

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


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