Implizite Funktion < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:35 So 29.01.2017 | | Autor: | stefmeff |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die implizite Funktion
[mm] x^{2/3} [/mm] + [mm] y^{2/3} [/mm] = 1
im Punkt P = (a;0) a [mm] \not= [/mm] 0, eine waagerechte Tangente besitzt. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Guten Tag,
ich habe versucht diese Aufgabe zu lösen.
Nur leider komme ich nicht weiter
Schritt 1.
erste Ableitung f´x und f´y
f´x = 2 / 3* [mm] \wurzel[3]{x}
[/mm]
f´x = 2 / 3* [mm] \wurzel[3]{y}
[/mm]
2. Schritt
y´ = f´x / f´y um die Steigung zu bestimmen
y´= (2 / 3* [mm] \wurzel[3]{x}) [/mm] / (2 / 3* [mm] \wurzel[3]{y})
[/mm]
Und
von der ersten Ableitung f´x würde ich die Nullstellen bestimmen nur ich verstehe nicht wie ich da auf einen weiteren Wert komme, außer X = 0, welches nicht in betracht kommt, da a /not= 0.
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Hallo,
vorneweg: ich glaube, du hast den Begriff Implizite Funktion noch nicht wirklich verstanden (ist ja auch nicht so einfach).
> Zeigen Sie, dass die implizite Funktion
>
> [mm]x^{2/3}[/mm] + [mm]y^{2/3}[/mm] = 1
>
> im Punkt P = (a;0) a [mm]\not=[/mm] 0, eine waagerechte Tangente
> besitzt.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Guten Tag,
>
>
> ich habe versucht diese Aufgabe zu lösen.
> Nur leider komme ich nicht weiter
>
> Schritt 1.
> erste Ableitung f´x und f´y
Ja, und schon hier kann das i.a. nicht funktionieren. Es geht hier nicht einfach um eine mehrdimensionale Funktion, für die sich partielle Ableitungen bestimmen lassen. Eine implizite Darstellung wählt man ja gerade dann, wenn eine explizite D. nicht möglich ist (was hier vorliegt, wie man leicht nachrechnet).
>
> f´x = 2 / 3* [mm]\wurzel[3]{x}[/mm]
>
> f´x = 2 / 3* [mm]\wurzel[3]{y}[/mm]
>
> 2. Schritt
>
> y´ = f´x / f´y um die Steigung zu bestimmen
>
> y´= (2 / 3* [mm]\wurzel[3]{x})[/mm] / (2 / 3* [mm]\wurzel[3]{y})[/mm]
>
Wie gesagt: mit diesen Rechnungen kommst du hier nicht weiter. Leite die Gleichung (also beide Seiten) nach x ab (beachte dabei die Kettenregel und löse anschließend nach y' auf. Jetzt kannst du den Punkt auf der rechten Seite einsetzen und erhältst das gewünschte Ergebnis.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:58 Mo 30.01.2017 | | Autor: | fred97 |
1. Ich muss Diophant widersprechen. Ist durch die Gl.
$f(x,y)=0$
implizit eine Funktion y definiert, gilt also
$f(x,y(x))=0$,
so erhält man mit der Kettenregel:
(*) [mm] $f_x(x,y(x))+f_y(x,y(x))y'(x)=0$ [/mm] und somit, falls [mm] f_y(x,y(x)) \ne0:
[/mm]
$y'(x)=- [mm] \frac{f_x(x,y(x))}{f_y(x,y(x))}$.
[/mm]
2. Im vorliegenden Fall ist $f(x,y)= [mm] x^{2/3} +y^{2/3} [/mm] -1 $
Aus (*) sieht man: ist y'(a)=0, so ist [mm] f_x(a,y(a))=0.
[/mm]
Nun ist [mm] f_x(a,y(a)) [/mm] = [mm] \frac{2}{3 \wurzel[3]{a}}
[/mm]
Für kein a [mm] \ne [/mm] 0 ist das =0 !
Fazit: die Aufgabe ist Murks.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:48 Mo 30.01.2017 | | Autor: | Diophant |
Hallo Fred,
> 1. Ich muss Diophant widersprechen. Ist durch die Gl.
>
> [mm]f(x,y)=0[/mm]
>
> implizit eine Funktion y definiert, gilt also
>
> [mm]f(x,y(x))=0[/mm],
>
> so erhält man mit der Kettenregel:
>
> (*) [mm]f_x(x,y(x))+f_y(x,y(x))y'(x)=0[/mm] und somit, falls
> [mm]f_y(x,y(x)) \ne0:[/mm]
>
> [mm]y'(x)=- \frac{f_x(x,y(x))}{f_y(x,y(x))}[/mm].
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>
> 2. Im vorliegenden Fall ist [mm]f(x,y)= x^{2/3} +y^{2/3} -1[/mm]
>
> Aus (*) sieht man: ist y'(a)=0, so ist [mm]f_x(a,y(a))=0.[/mm]
>
> Nun ist [mm]f_x(a,y(a))[/mm] = [mm]\frac{2}{3 \wurzel[3]{a}}[/mm]
>
> Für kein a [mm]\ne[/mm] 0 ist das =0 !
>
> Fazit: die Aufgabe ist Murks.
Ich glaube, wir meinen das gleiche. Ich erhalte konkret für die Ableitung y':
[mm] y'=-\wurzel[3]{\frac{y}{x}}
[/mm]
Und die folgende Zeichnung (ok, Geogebra nimmts mit der Definitionsmenge nicht so genau) legt doch nahe dass y' an der einzigen Stelle mit y=0 (das ist x=1) ebenfalls 0 wird:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruß, Diophant
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
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