Implizite Funktion 2 < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:54 Fr 25.07.2014 | | Autor: | YuSul |
| Aufgabe | Sei [mm] f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}
[/mm]
gegeben durch
[mm] $f(x,y_1,y_2):=x^2y_1+e^x+y_2$
[/mm]
a) Zeigen Sie, dass es eine offene Menge [mm] $U\subset \mathbb{R}^2, (-1,1)\in [/mm] U$ und eine differenzierbare Funktion $g: [mm] U\to\mathbb{R}$ [/mm] gibt mit
[mm] $f(g(y_1,y_2),y_1,y_2)=0$
[/mm]
für alle [mm] $(y_1, y_2)\in [/mm] U$ |
Hi,
ich habe eine Frage zu dieser Aufgabe.
Nämlich ist mir die Vorgehensweise nicht ganz klar. Ich muss ja den Satz über implizite Funktionen anwenden. Jedenfalls denke ich das.
Nun möchte ich die Funktion nach x differenzieren um zu zeigen, dass dies ungleich Null ist, in der Umgebung, damit ich den Satz über implizite Funktionen anwenden kann:
[mm] $f(x,y_1,y_2)=x^2y_1+e^x+y_2$
[/mm]
[mm] $\frac{\partial f}{\partial x}(x,y_1,y_2)=2xy_1+e^x$
[/mm]
[mm] $\frac{\partial f}{\partial x}(x,-1,1)=-2x+e^x\neq [/mm] 0$
Wovon man sich leicht überzeugen kann.
Also kann ich den Satz über implizite Funktionen anwenden.
Daher existiert eine differenzierbare Funktion
[mm] $g:(-1,1)\to\mathbb{R}$ [/mm] mit [mm] $f(g(y_1,y_2), y_1,y_2)=0$
[/mm]
Passt das soweit?
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Hallo YuSul,
> Sei [mm]f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}[/mm]
>
> gegeben durch
>
> [mm]f(x,y_1,y_2):=x^2y_1+e^x+y_2[/mm]
>
> a) Zeigen Sie, dass es eine offene Menge [mm]U\subset \mathbb{R}^2, (-1,1)\in U[/mm]
> und eine differenzierbare Funktion [mm]g: U\to\mathbb{R}[/mm] gibt
> mit
>
> [mm]f(g(y_1,y_2),y_1,y_2)=0[/mm]
>
> für alle [mm](y_1, y_2)\in U[/mm]
> Hi,
>
> ich habe eine Frage zu dieser Aufgabe.
> Nämlich ist mir die Vorgehensweise nicht ganz klar. Ich
> muss ja den Satz über implizite Funktionen anwenden.
> Jedenfalls denke ich das.
>
> Nun möchte ich die Funktion nach x differenzieren um zu
> zeigen, dass dies ungleich Null ist, in der Umgebung, damit
> ich den Satz über implizite Funktionen anwenden kann:
>
> [mm]f(x,y_1,y_2)=x^2y_1+e^x+y_2[/mm]
>
> [mm]\frac{\partial f}{\partial x}(x,y_1,y_2)=2xy_1+e^x[/mm]
>
> [mm]\frac{\partial f}{\partial x}(x,-1,1)=-2x+e^x\neq 0[/mm]
>
> Wovon man sich leicht überzeugen kann.
> Also kann ich den Satz über implizite Funktionen
> anwenden.
> Daher existiert eine differenzierbare Funktion
>
> [mm]g:(-1,1)\to\mathbb{R}[/mm] mit [mm]f(g(y_1,y_2), y_1,y_2)=0[/mm]
>
> Passt das soweit?
Es ist noch zu zeigen, daß es ein x gibt,
das die Gleichung
[mm]f(x,-1,1)=-x^2+e^x+1=0[/mm]
erfüllt.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:36 Fr 25.07.2014 | | Autor: | YuSul |
Das sollte leicht mit dem Zwischenwert machbar sein.
Die Funktion ist auf [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] stetig. Also einfach einen Wert suchen welcher negativ ist, und einen positiven Funktionswert. Damit wäre die Existenz einer Nullstelle sicher.
z.B
x=-3
[mm] $\frac{1}{e^3}+1-9<0$
[/mm]
x=3
[mm] $e^3+1-17>0$
[/mm]
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Hallo YuSul,
> Das sollte leicht mit dem Zwischenwert machbar sein.
> Die Funktion ist auf [mm]\mathbb{R}[/mm] stetig. Also einfach einen
> Wert suchen welcher negativ ist, und einen positiven
> Funktionswert. Damit wäre die Existenz einer Nullstelle
> sicher.
>
> z.B
>
> x=-3
>
> [mm]\frac{1}{e^3}+1-9<0[/mm]
>
> x=3
>
> [mm]e^3+1-17>0[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:54 Fr 25.07.2014 | | Autor: | YuSul |
Okay, und wie mach ich nun weiter wenn ich weiß, dass es eine solche differenzierbare Abbildung gibt?
[mm] $f(g(y_1,y_2),y_1,y_2)=0$
[/mm]
[mm] $g(y_1, y_2)y_1+e^{g(y_1,y_2)}+y_2=0$
[/mm]
Nun würde ich dies nach [mm] $g(y_1, y_2)$ [/mm] auflösen und dann beide Seiten partiell differenzieren.
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Hallo YuSul,
> Okay, und wie mach ich nun weiter wenn ich weiß, dass es
> eine solche differenzierbare Abbildung gibt?
>
> [mm]f(g(y_1,y_2),y_1,y_2)=0[/mm]
>
> [mm]g(y_1, y_2)y_1+e^{g(y_1,y_2)}+y_2=0[/mm]
>
> Nun würde ich dies nach [mm]g(y_1, y_2)[/mm] auflösen und dann
> beide Seiten partiell differenzieren.
Eine explizite Auslösung nach [mm]g(y_1, y_2)[/mm] ist hier nicht möglich.
Die partiellen Ableitungen von [mm]g(y_1, y_2)[/mm] kannst Du
schon anhand dieser Gleichung bestimmen.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:02 Fr 25.07.2014 | | Autor: | YuSul |
Ich weiß leider nicht so recht wie ich hier nun die Ableitung bilden kann.
Mich stört das [mm] $g(y_1, y_2)$. [/mm]
Wie gehe ich damit um? Einfach über die Kettenregel? Aber da könnte ich es wohl allgemein auch nicht aufschreiben...
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Hallo YuSul,
> Ich weiß leider nicht so recht wie ich hier nun die
> Ableitung bilden kann.
> Mich stört das [mm]g(y_1, y_2)[/mm].
> Wie gehe ich damit um? Einfach über die Kettenregel? Aber
> da könnte ich es wohl allgemein auch nicht aufschreiben...
Einfach die gegebene Gleichung partiell
nach [mm]y_{1}[/mm] und [mm]y_{2}[/mm] ableiten.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:28 Fr 25.07.2014 | | Autor: | YuSul |
Ja, und was wäre
[mm] $\frac{\parital g(y_1,y_2)y_1}{\partial y_1}(y_1,y_2)$
[/mm]
Es ist ja gerade mein Problem, dass ich hier nicht genau wie ich es hinschreiben kann.
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Hallo YuSul,
> Ja, und was wäre
>
> [mm]\frac{\parital g(y_1,y_2)y_1}{\partial y_1}(y_1,y_2)[/mm]
>
Die partielle Ableitung von g nach [mm]y_{1}[/mm]:
[mm]\frac{\partial g(y_1,y_2)}{\partial y_1}[/mm]
> Es ist ja gerade mein Problem, dass ich hier nicht genau
> wie ich es hinschreiben kann.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:37 Fr 25.07.2014 | | Autor: | YuSul |
Und die partielle Ableitung von g nach [mm] y_2 [/mm] wäre dann einfach:
[mm] $\frac{\partial g(y_1,y_2)}{\partial y_2}$
[/mm]
Dann erhalte ich also einfach:
[mm] $\frac{\partial g(y_1,y_2)}{\partial y_1}+\frac{\partial g(y_1,y_2)}{\partial y_1}e^{g(y_1,y_2)}$
[/mm]
und
[mm] $\frac{\partial g(y_1,y_2)}{\partial y_2}y_1+\frac{\partial g(y_1,y_2)}{\partial y_2}e^{g(y_1,y_2)}+1$
[/mm]
?
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Hallo YuSul,
> Und die partielle Ableitung von g nach [mm]y_2[/mm] wäre dann
> einfach:
>
> [mm]\frac{\partial g(y_1,y_2)}{\partial y_2}[/mm]
>
> Dann erhalte ich also einfach:
>
> [mm]\frac{\partial g(y_1,y_2)}{\partial y_1}+\frac{\partial g(y_1,y_2)}{\partial y_1}e^{g(y_1,y_2)}[/mm]
>
> und
>
> [mm]\frac{\partial g(y_1,y_2)}{\partial y_2}y_1+\frac{\partial g(y_1,y_2)}{\partial y_2}e^{g(y_1,y_2)}+1[/mm]
>
> ?
Das musst Du nochmal nachrechnen.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:53 Fr 25.07.2014 | | Autor: | YuSul |
Aber
[mm] $g(y_1,y_2)y_1$ [/mm] müsste ich doch mit der Produktregel nach [mm] $y_1$ [/mm] ableiten, oder nicht. So, dass man
[mm] $\frac{\partial g(y_1,y_2)}{\partial y_2}y_2+g(y_1,y_2)$ [/mm] erhalten sollte, oder nicht?
Dementsprechend verstehe ich deine Lösung hierfür nicht ganz.
Wo genau entsteht in meinem Vorschlag ein Fehler?
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Hallo YuSul,
> Aber
>
> [mm]g(y_1,y_2)y_1[/mm] müsste ich doch mit der Produktregel nach
> [mm]y_1[/mm] ableiten, oder nicht. So, dass man
>
> [mm]\frac{\partial g(y_1,y_2)}{\partial y_2}y_2+g(y_1,y_2)[/mm]
> erhalten sollte, oder nicht?
>
Dann muß hier aber stehen:
[mm]\frac{\partial g(y_1,y_2)}{\partial y_\blue{1}}y_\blue{1}+g(y_1,y_2)[/mm]
> Dementsprechend verstehe ich deine Lösung hierfür nicht
> ganz.
>
> Wo genau entsteht in meinem Vorschlag ein Fehler?
Ich ging von der in der Aufgabenstellung
gegebenen Gleichung aus.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:13 Fr 25.07.2014 | | Autor: | YuSul |
Dann ist meine Ableitung also bis auf diesen Tippfehler richtig?
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Hallo YuSul,
> Dann ist meine Ableitung also bis auf diesen Tippfehler
> richtig?
Ja.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:10 Fr 25.07.2014 | | Autor: | YuSul |
Dann lautet nun also der Gradient:
[mm] $\nabla g(y_1,y_2)=\begin{pmatrix}\frac{\partial g(y_1,y_2)}{\partial y_1}y_1+g(y_1,y_2)+\frac{\partial g(y_1,y_2)}{\partial y_1}e^{g(y_1,y_2)}\\\frac{\partial g(y_1,y_2)}{\partial y_2}y_1+\frac{\partial g(y_1,y_2)}{\partial y_2}e^{g(y_1,y_2)}+1\end{pmatrix}$
[/mm]
?
Und nun muss ich nur noch
[mm] $\nabla [/mm] g(1,-1)$ bestimmen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:12 Fr 25.07.2014 | | Autor: | YuSul |
Könne mir noch jemand sagen ob mein Gradient so richtig ist und wie ich nun
[mm] \nabla [/mm] g(1,-1) berechnen kann.
Erwartet man da einen Zahlenwert, oder einfach einsetzen, denn g(1,-1) kennt man ja nicht. Obwohl, soll dies nicht Null sein?
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Hallo YuSul,
> Dann lautet nun also der Gradient:
>
>
> [mm]\nabla g(y_1,y_2)=\begin{pmatrix}\frac{\partial g(y_1,y_2)}{\partial y_1}y_1+g(y_1,y_2)+\frac{\partial g(y_1,y_2)}{\partial y_1}e^{g(y_1,y_2)}\\\frac{\partial g(y_1,y_2)}{\partial y_2}y_1+\frac{\partial g(y_1,y_2)}{\partial y_2}e^{g(y_1,y_2)}+1\end{pmatrix}[/mm]
>
> ?
>
Im Ausgangspost stand doch:
[mm] f(x,y_1,y_2)=x^2y_1+e^x+y_2 [/mm]
Demnach stimmen die ersten beiden Summanden
bei der Ableitung nach [mm]y_{1}[/mm] und der erste
Summand bei der Ableitung nach [mm]y_{2}[/mm] nicht.
> Und nun muss ich nur noch
>
> [mm]\nabla g(1,-1)[/mm] bestimmen.
Gruss
MathePower
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