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| Aufgabe | F(x,y)= [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] – 1 = 0 => y = [mm] \wurzel{1-x²}
[/mm]
[mm] F(x_0,y_0)=0 [/mm] bei [mm] (x_0,y_0)=(0,1)
[/mm]
[mm] \bruch{dF}{dy} [/mm] (0,1) = 2y = 2
[mm] D_0= [/mm] = [mm] \bruch{dF}{dy} [/mm] (0,1) = 2 ; [mm] D_0^{-1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] Y_{n+1}(x) [/mm] = [mm] y_n(x) [/mm] – [mm] \bruch{1}{2}[x^2 [/mm] + [mm] y^2(x_n) [/mm] – 1]
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Hallo Leute,
Wir haben in der Uni eine Art Projekt, in dem wir uns Aufgaben zu Impliziten Funktionen komplett selber erarbeiten müssen. Anfangen sollen wir mit der Kreisgleichung. Da aber unser Prof ausser den obigen Funktionen und Gleichungen nichts weiter erklärt hat, stehen wir ziemlich auf dem Schlauch... wir wissen zwar im Groben was eine implizite Funktion ist, aber mehr auch nicht. Kann Jemand damit etwas anfangen bzw schildern was damit gemeint ist? Insbesondere ab d0 = dF/dy (0,1) = 2y = 2 bis hin zur letzten Funktion können wir nicht nachvollziehen was man damit erreichen will bzw. was man damit für eine Lösung bekommt. Vielen Dank für eure Hilfe, Grüße, Flo
# Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:39 Di 08.06.2010 | | Autor: | gfm |
> F(x,y)= [mm]x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] – 1 = 0 => y = [mm]\wurzel{1-x²}[/mm]
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> [mm]F(x_0,y_0)=0[/mm] bei [mm](x_0,y_0)=(0,1)[/mm]
>
> [mm]\bruch{dF}{dy}[/mm] (0,1) = 2y = 2
>
> [mm]D_0=[/mm] = [mm]\bruch{dF}{dy}[/mm] (0,1) = 2 ; [mm]D_0^{-1}[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
>
> [mm]Y_{n+1}(x)[/mm] = [mm]y_n(x)[/mm] – [mm]\bruch{1}{2}[x^2[/mm] + [mm]y^2(x_n)[/mm] – 1]
>
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> Hallo Leute,
> Wir haben in der Uni eine Art Projekt, in dem wir uns
> Aufgaben zu Impliziten Funktionen komplett selber
> erarbeiten müssen. Anfangen sollen wir mit der
> Kreisgleichung. Da aber unser Prof ausser den obigen
> Funktionen und Gleichungen nichts weiter erklärt hat,
> stehen wir ziemlich auf dem Schlauch... wir wissen zwar im
> Groben was eine implizite Funktion ist, aber mehr auch
> nicht. Kann Jemand damit etwas anfangen bzw schildern was
> damit gemeint ist? Insbesondere ab d0 = dF/dy (0,1) = 2y =
> 2 bis hin zur letzten Funktion können wir nicht
> nachvollziehen was man damit erreichen will bzw. was man
> damit für eine Lösung bekommt. Vielen Dank für eure
> Hilfe, Grüße, Flo
>
> # Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Wieviel Arbeit habt Ihr Euch denn schon selber gemacht? Also, wo hab Ihr Euch denn überall informiert (Wiki, im Web verfügbare Vorlesungen, Matheraum, Bücher) und was habt Ihr schon selber herausgefunden bzw. zusammengetragen?
LG
gfm
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:40 Di 08.06.2010 | | Autor: | gfm |
> stehen wir ziemlich auf dem Schlauch... wir wissen zwar im
> Groben was eine implizite Funktion ist, aber mehr auch
Na dann schieß mal los!
LG
gfm
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Wir wissen(oder denken zu wissen) dass eine implizite Funktion im Gegensatz zu einer expliziten Funktion von mehr als einer Variablen abhängig ist und somit nicht so einfach lösbar ist.
Man hat eine Funktion F(x,y) die man anscheinend =0 setzt. Danach leitet man sie partiell nach y ab. Diese Ableitung muss dann ungleich Null sein, damit sie invertierbar ist. Damit folgert man mit Hilfe des Satzes, dass diese Gleichung nach y auflösbar ist, wenn y ungleich 0 ist.
Was man aber genau damit erreichen will wissen wir noch nicht. Das einzige was uns unser Prof in ca. ner viertel Stunde anhand der Kreisgleichung erklärt hat, ist dass man bei F(x,y) = x² + y² -1
eine Funktion y sucht, die den Kreis beschreibt.Man braucht dazu immer einen Fixpunkt und ein Intervall in dem diese Funktion gilt.Er meinte dass man das in mehreren Schritten machen kann und bei diesem Beispiel am besten mit der Geraden y=1 beginnt und dann sich immer mehr einem Kreis annähert, wobei der auftauchende Fehler immer geringer werden soll. Unser Problem nun: haben wir das alles richtig verstanden? Wie kommt man auf den Fehler und woher weiß ich das Umgebungsintervall der impliziten Funktion? Wir hatten nie eine Vorlesung zu diesem Thema und haben uns selbst hauptsächlich über Wikipedia informiert, sind aber wie du siehst leider noch nicht ganz daraus schlau geworden. Wir wären absolut erleichtert, wenn du uns die einzelnen Vorgehensmethoden genau erklären könntest, da wir zu allem Übel das Ganze später auch noch in Matlab programmieren müssen. ;)
Vielen Dank schonmal für deine Mühe, LG, Flo
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:35 Mi 09.06.2010 | | Autor: | fred97 |
Folgendes lege ich Euch ans Herz:
Im "Lehrbuch der Analysis, Teil 2" von H.Heuser wird das Thema "implizit def. Funktionen" im § 169 sehr ausführlich und behutsam motiviert, mit Beispielen und Bildern.
Tut Euch das mal an
FRED
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:01 Mi 09.06.2010 | | Autor: | gfm |
> Wir wissen(oder denken zu wissen) dass eine implizite
> Funktion im Gegensatz zu einer expliziten Funktion von mehr
> als einer Variablen abhängig ist und somit nicht so
> einfach lösbar ist.
> Man hat eine Funktion F(x,y) die man anscheinend =0 setzt.
Fast. Denkt man sich in F(x,y)=0 ein x gegeben, so definiert das, sofern es eine Lösung gibt, eine Zuordnung [mm] x\mapsto y=f^{(y)}(x). [/mm] Wenn man diese hätte und sie in F(x,y) einsetzte, käme indentisch null heraus.
> Danach leitet man sie partiell nach y ab. Diese Ableitung
> muss dann ungleich Null sein, damit sie invertierbar ist.
> Damit folgert man mit Hilfe des Satzes, dass diese
> Gleichung nach y auflösbar ist, wenn y ungleich 0 ist.
Gut.
> Was man aber genau damit erreichen will wissen wir noch
> nicht. Das einzige was uns unser Prof in ca. ner viertel
Na wenn, F(x,y)=0 gegeben ist und man sich für in der Umgebung einer Stelle [mm] (x_0,y_0), [/mm] für die [mm] F(x_0,y_0)=0 [/mm] gilt, für eine Auflösung y=f(x) interessiert, ist es wichtig zu wissen, ob es so eine Auflösung überhaupt gibt. Und wenn man an [mm] f'(x_0) [/mm] interessiert ist, kann man das ausrechnen, ohne f(x) explizit zu wissen.
Ich denke da z.B. an die Van-Der-Waalsche-Gleichung. Sie ist eine angenäherte Zustandsgleichung für reale Gase:
[mm] \left( p + \frac{a n^2}{V^2}\right)\left(V-nb \right) [/mm] = nRT
http://www.fsmpi.uni-bayreuth.de/thermo/vdwpv.html
> Stunde anhand der Kreisgleichung erklärt hat, ist dass man
> bei F(x,y) = x² + y² -1
> eine Funktion y sucht, die den Kreis beschreibt.Man
> braucht dazu immer einen Fixpunkt und ein Intervall in dem
> diese Funktion gilt.Er meinte dass man das in mehreren
> Schritten machen kann und bei diesem Beispiel am besten mit
> der Geraden y=1 beginnt und dann sich immer mehr einem
> Kreis annähert, wobei der auftauchende Fehler immer
> geringer werden soll. Unser Problem nun: haben wir das
> alles richtig verstanden? Wie kommt man auf den Fehler und
> woher weiß ich das Umgebungsintervall der impliziten
> Funktion? Wir hatten nie eine Vorlesung zu diesem Thema und
Bin mir nicht sicher, was er genau will. Ich vermute, dass Ihr an einem Punkt [mm] (x_0,y_0) [/mm] der [mm] x^2+y^2=1, [/mm] z.B. [mm] (\wurzel{2}, \wurzel{2}) [/mm] nach y auflösen sollt.
Der Satz über implizite Funktionen besagt nur etwas über die Existenz. Er liefert kein allg. Schema zur Berechnung. Das muss immer im konkreten Fall gemacht werden. Was man machen könnte ist den einen Beweis konkret für dieses Beispiel nachzuvollziehen.
Oder aber man untersucht z.B. [mm] (x_0+\delta)^2+(y_0+\epsilon)^2=1 [/mm] und prüft in Abhängigkeit von [mm] (x_0,y_0) [/mm] den Definitionsbereich von der eindeutigen Auflösung [mm] \epsilon=f(\delta).
[/mm]
Beim Kreis ist das nicht so schwer da ja die Funktionen [mm] y=\pm\wurzel{1-x^2} [/mm] existieren. Zu einem [mm] (x_0,y_0) [/mm] mit [mm] \pm y_0>0 [/mm] kann man jeweils [mm] \pm\wurzel{1-x^2} [/mm] verwenden in ]-1,1[ verwenden. In den Punkten (-1,0) oder (1,0) gibt es keine eindeutige Auflösung mit einer Funktion für Punkte auf dem Kreis oberhalb und gleichzeitig unterhalb des Punktes.
> haben uns selbst hauptsächlich über Wikipedia informiert,
> sind aber wie du siehst leider noch nicht ganz daraus
> schlau geworden. Wir wären absolut erleichtert, wenn du
> uns die einzelnen Vorgehensmethoden genau erklären
> könntest, da wir zu allem Übel das Ganze später auch
> noch in Matlab programmieren müssen. ;)
Na Ihr wißt ja schon eine Menge.
LG
gfm
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