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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:43 Sa 12.06.2010 | | Autor: | icarus89 |
| Aufgabe | 1) Zeige, dass sich die Gleichung x+y+z=sin(x*y*z) in einer Umgebung V von (0,0,0) eindeutig nach z auflösen lässt, d.h. es existiert eine geeignete Umgebung U von (0,0) und eine Funktion [mm] g:U\to\IR, [/mm] sodass (x,y,g(x,y)) mit [mm] (x,y)\in [/mm] U die Gleichung löst.
Berechne ferner die Ableitung von g an der Stelle (0,0)
2) Zeige, dass das Gleichungssystem
u+cos(u*v)-v*x=1
sin(u)-y-v=0
in einer Umgebung von [mm] (x_{0}, y_{0}, u_{0}, v_{0})=(0,-1,0,1) [/mm] durch differenzierbare Funktionen u=u(x,y) und v=v(x,y) aufgelöst werden kann und berechne die partiellen Ableitungen an der Stelle (0,-1).
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Heyho!
Der erste Teil bei Aufgabe 1) ist ja einfach nur die Anwendung des Satzes der impliziten Funktionen. Aber zum zweiten Teil hatten wir noch nichts in der Vorlesung, ist damit eigentlich der Gradient von g gemeint? Naja, jedenfalls habe ich versucht, das, was wir bereits in Physik im eindimensionalen Fall hatten darauf zu übertragen und kam auf (-1,-1). Aber selbst wenn das richtig sein sollte, sollten wir das bestimmt nicht so plump berechnen sondern irgendwie beweisen, da das ja noch neu ist...
Die Frage ist bloß: Wie?
Aufgabe 2) finde ich sehr verwirrend...Ich nehme einfach mal an, dass man auch da den Satz der impliziten Funktionen anwenden muss und eigentlich ist auch der zweite Teil ähnlich...
Aber diese Aufgabe ist etwas komplizierter als die erste und ich kann nicht wirklich erkennen, wie man den Satz hier anwenden soll...
Der Satz selbst ist ja auch alles andere als leicht verständlich -_-
Grüße
icarus89
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Hallo icarus89,
> 1) Zeige, dass sich die Gleichung x+y+z=sin(x*y*z) in einer
> Umgebung V von (0,0,0) eindeutig nach z auflösen lässt,
> d.h. es existiert eine geeignete Umgebung U von (0,0) und
> eine Funktion [mm]g:U\to\IR,[/mm] sodass (x,y,g(x,y)) mit [mm](x,y)\in[/mm] U
> die Gleichung löst.
> Berechne ferner die Ableitung von g an der Stelle (0,0)
>
> 2) Zeige, dass das Gleichungssystem
> u+cos(u*v)-v*x=1
> sin(u)-y-v=0
> in einer Umgebung von [mm](x_{0}, y_{0}, u_{0}, v_{0})=(0,-1,0,1)[/mm]
> durch differenzierbare Funktionen u=u(x,y) und v=v(x,y)
> aufgelöst werden kann und berechne die partiellen
> Ableitungen an der Stelle (0,-1).
>
> Heyho!
>
> Der erste Teil bei Aufgabe 1) ist ja einfach nur die
> Anwendung des Satzes der impliziten Funktionen. Aber zum
> zweiten Teil hatten wir noch nichts in der Vorlesung, ist
> damit eigentlich der Gradient von g gemeint? Naja,
Ja, das ist der Gradient von g.
> jedenfalls habe ich versucht, das, was wir bereits in
> Physik im eindimensionalen Fall hatten darauf zu
> übertragen und kam auf (-1,-1). Aber selbst wenn das
> richtig sein sollte, sollten wir das bestimmt nicht so
> plump berechnen sondern irgendwie beweisen, da das ja noch
> neu ist...
> Die Frage ist bloß: Wie?
Setze in der gegebenen Gleichung [mm]z=g\left(x,y\right)[/mm]
Differenziere diese nach x bzw. y.
Löse dann nach [mm]g_{x}[/mm] bzw. [mm]g_{y}[/mm] auf.
>
> Aufgabe 2) finde ich sehr verwirrend...Ich nehme einfach
> mal an, dass man auch da den Satz der impliziten Funktionen
> anwenden muss und eigentlich ist auch der zweite Teil
> ähnlich...
> Aber diese Aufgabe ist etwas komplizierter als die erste
> und ich kann nicht wirklich erkennen, wie man den Satz hier
> anwenden soll...
Nun, setze hier, wie in der Aufgabe angegeben:
[mm]u=u\left(x,y}\right), \ v=v\left(x,y\right)[/mm]
Und differenziere dann beide Gleichungen nach x bzw. y.
Bestimme dann aus dem entstehenden Gleichungsystem
die entsprechenden partiellen Ableitungen.
> Der Satz selbst ist ja auch alles andere als leicht
> verständlich -_-
>
> Grüße
> icarus89
Gruss
MathePower
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