Implizite Mittelpunktregel < DGL < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:41 Fr 25.10.2013 | | Autor: | chesn |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die implizite Mittelpunktregel
[mm] y_{i+1}=y_i+\Delta{t}*f(t_i+\bruch{1}{2}\Delta{t}, \bruch{1}{2}(y_i+y_{i+1}))
[/mm]
die exakte Lösung des Anfangswertproblems
$y'(t)=-2at, \ \ \ [mm] y(t_0)=y_0$
[/mm]
liefert. |
Hier mal meine Überlegungen:
Es ist $y'(t)=-2at=f(t,y).$
[mm] y(t_0)=y_0=-2at_0.
[/mm]
Mit der Mittelpunktregel:
[mm] $y_1=y_0+\Delta{t}*f(t_0+\bruch{1}{2}\Delta{t}, \bruch{1}{2}(y_0+y_{1})) [/mm] $ %% wobei in f(t,y) aber kein y vorkommt, also:
$= [mm] -2at_0+\Delta{t}*(-2a)*(t_0+\bruch{1}{2}\Delta{t})$ [/mm] %% hab ich das so richtig verstanden?
Aufgelöst komme ich dann auf
[mm] $=-2at_0-2at_0\Delta{t}-a(\Delta{t})^2
[/mm]
aber von da nicht mehr weiter zur exakten Lösung [mm] y(t)=-at^2, [/mm] es sei denn ich nehme [mm] t_0=0 [/mm] an (?). Bin da leider noch etwas unsicher... in wie fern geht das in die richtige Richtung?
Lieben Gruß,
chesn
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Hallo chesn,
> Zeigen Sie, dass die implizite Mittelpunktregel
>
> [mm]y_{i+1}=y_i+\Delta{t}*f(t_i+\bruch{1}{2}\Delta{t}, \bruch{1}{2}(y_i+y_{i+1}))[/mm]
>
> die exakte Lösung des Anfangswertproblems
>
> [mm]y'(t)=-2at, \ \ \ y(t_0)=y_0[/mm]
>
> liefert.
> Hier mal meine Überlegungen:
>
> Es ist [mm]y'(t)=-2at=f(t,y).[/mm]
>
> [mm]y(t_0)=y_0=-2at_0.[/mm]
>
> Mit der Mittelpunktregel:
>
> [mm]y_1=y_0+\Delta{t}*f(t_0+\bruch{1}{2}\Delta{t}, \bruch{1}{2}(y_0+y_{1}))[/mm]
> %% wobei in f(t,y) aber kein y vorkommt, also:
>
> [mm]= -2at_0+\Delta{t}*(-2a)*(t_0+\bruch{1}{2}\Delta{t})[/mm] %% hab
> ich das so richtig verstanden?
>
Es ist [mm]y_{0} \not= -2at_{0}[/mm]
Damit steht hier:
[mm]y_{1}= y_{0}+\Delta{t}*(-2a)*(t_0+\bruch{1}{2}\Delta{t})[/mm]
> Aufgelöst komme ich dann auf
>
> [mm]$=-2at_0-2at_0\Delta{t}-a(\Delta{t})^2[/mm]
>
> aber von da nicht mehr weiter zur exakten Lösung
> [mm]y(t)=-at^2,[/mm] es sei denn ich nehme [mm]t_0=0[/mm] an (?). Bin da
Nein, das ist nicht die exakte Lösung des AWP's.
> leider noch etwas unsicher... in wie fern geht das in die
> richtige Richtung?
>
> Lieben Gruß,
> chesn
Gruss
MathePower
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