Ind.bew. - Umformungsprobleme < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:44 Fr 09.10.2009 | | Autor: | RalU |
| Aufgabe | Hallo, es geht um folgende Aufgaben zu Induktionsbeweisen:
1) zu zeigen:
[mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] i = [mm] \bruch{n*(n+1)}{2}, [/mm] für n [mm] \ge [/mm] 1, n [mm] \in \IN
[/mm]
2) zu zeigen:
[mm] (\summe_{i=1}^{n} [/mm] i [mm] )^{2}= \summe_{i=1}^{n} i^{3}, [/mm] für n [mm] \ge [/mm] 1, n [mm] \in \IN
[/mm]
3) zu zeigen:
[mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k(k+1)} [/mm] = 1 - [mm] \bruch{1}{n+1}, [/mm] für n [mm] \ge [/mm] 1, n [mm] \in \IN
[/mm]
4) zu zeigen:
Sei x [mm] \in \IR [/mm] \ {1}. Dann gilt [mm] \summe_{k=0}^{n-1} x^{k}=\bruch{1-x^{k}}{1-x}, [/mm] für alle n [mm] \ge [/mm] 1, n [mm] \in \IN [/mm] |
meine Lösungsversuche:
zu 1)
(IA)
n=1
[mm] \summe_{i=1}^{1} 1=\bruch{1(1+1)}{2}
[/mm]
1 = 1
Es gilt E(1)!
(IS)
(IV (Induktionsvoraussetzung)): [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] i = [mm] \bruch{n(n+1)}{2}
[/mm]
zu zeigen: E(n) [mm] \Rightarrow [/mm] E(n+1) gilt.
also: [mm] \summe_{i=1}^{n+1} [/mm] i = [mm] \bruch{(n+1)((n+1)+1)}{2}
[/mm]
nach Anwendung der (IV) gilt:
[mm] \bruch{n(n+1)}{2}+(n+1)=\bruch{(n+1)((n+1)+1)}{2}
[/mm]
bis hierher komme ich. Dann hab ich Probleme mit den Umformungen. Wie geht es nun weiter?
Ähnlich geht es mir auch bei den restlichen Aufgaben. Im IS komm ich nich weiter...
Gruß, Ralf
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:49 Fr 09.10.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Ralf!
Du musst doch nur noch die hintere Klammer im Zähler zusammenfassen und bist dann fertig.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:25 Fr 09.10.2009 | | Autor: | RalU |
Hallo und danke für die Anwort.
ich schreib dann im IS bei Aufgabe 1) einfach hin:
[mm] ...\bruch{n(n+1)}{2}+\bruch{2(n+1)}{2}=\bruch{(n+1)^{2}+n+1)}{2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \bruch{n^{2}+n+2n+2}{2}=\bruch{n^{2}+2n+1+(n+1)}{2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \bruch{n^{2}+3n+2}{2}=\bruch{n^{2}+3n+2}{2}
[/mm]
q.e.d.
soweit ok.
Bei der 2. Teilaufgabe hänge ich ebenfalls im (IS):
also (IV): [mm] (\summe_{i=1}^{n}i^{2})=\summe_{i=1}^{n}i^{3}
[/mm]
z.z.: [mm] E(n)\Rightarrow [/mm] E(n+1) gilt.
also: [mm] (\summe_{i=1}^{n}i)^{2}= (\summe_{i=1}^{n}i +(n+1))^{2}=\summe_{i=1}^{n+1}i^{3}
[/mm]
nach Anw. der (IV) gilt:
[mm] (\summe_{i=1}^{n}i)^{2}=\summe_{i=1}^{n}i^{3} [/mm] + [mm] (n+1)^{3}
[/mm]
[mm] \Rightarrow (\summe_{i=1}^{n}i +(n+1))^{2}=\summe_{i=1}^{n}i^{3} [/mm] + [mm] (n+1)^{3}
[/mm]
Wie kann ich jetzt weiter umformen?
Gruß, Ralf
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> Hallo und danke für die Anwort.
>
> ich schreib dann im IS bei Aufgabe 1) einfach hin:
>
> [mm]...\bruch{n(n+1)}{2}+\bruch{2(n+1)}{2}=\bruch{(n+1)^{2}+n+1)}{2}[/mm]
> [mm]\Rightarrow \bruch{n^{2}+n+2n+2}{2}=\bruch{n^{2}+2n+1+(n+1)}{2}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \bruch{n^{2}+3n+2}{2}=\bruch{n^{2}+3n+2}{2}[/mm]
>
> q.e.d.
>
> soweit ok.
Hallo,
es ist zwar etwas umständlich, aber richtig.
>
> Bei der 2. Teilaufgabe hänge ich ebenfalls im (IS):
> also (IV): [mm](\summe_{i=1}^{n}i\red{)^{2}}=\summe_{i=1}^{n}i^{3}[/mm]
> z.z.: [mm]E(n)\Rightarrow[/mm] E(n+1) gilt.
>
> also: [mm](\summe_{i=1}^{\red{n+1}}i)^{2}= (\summe_{i=1}^{n}i +(n+1))^{2}=\summe_{i=1}^{n+1}i^{3}[/mm]
>
> nach Anw. der (IV) gilt:
Nein, die IV verwendest Du hier nicht:
> [mm](\summe_{i=1}^{\red{n+1}}i)^{2}=\summe_{i=1}^{n}i^{3}[/mm] + [mm](n+1)^{3}[/mm]
> [mm]\Rightarrow (\summe_{i=1}^{n}i +(n+1))^{2}=\summe_{i=1}^{n}i^{3}[/mm] + [mm](n+1)^{3}[/mm]
>
> Wie kann ich jetzt weiter umformen?
Du mußt nun ja darauf zusteuern, daß Du irgendwie [mm] (\summe_1^{n}i)^2 [/mm] ersetzen kannst durch [mm] \summe_1^{n}i^3, [/mm] also tatsächlich die IV. verwendest.
Verwende davor zunächst für [mm] (\summe_{i=1}^{n}i +(n+1))^{2} [/mm] die binomische Formel, (Dein einer Summand ist [mm] \summe_{i=1}^{n}i [/mm] , der andere (n+1).)
Erinnere Dich auch daran, daß Du [mm] \summe_1^ni [/mm] kennst.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:23 Sa 10.10.2009 | | Autor: | RalU |
Hallo und vielen Dank für die Hilfe,
ich habe jedoch noch ein paar Fragen und komme noch nicht zum Ergebnis.
> Verwende davor zunächst für [mm](\summe_{i=1}^{n}i +(n+1))^{2}[/mm]
> die binomische Formel, (Dein einer Summand ist
> [mm]\summe_{i=1}^{n}i[/mm] , der andere (n+1).)
das habe ich folgendermaßen probiert, komme aber nicht mehr weiter...
[mm] \Rightarrow (\summe_{i=1}^{n} i)^{2} [/mm] + 2 [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] i (n+1) + [mm] (n+1)^{2}
[/mm]
(nach Anw. IV)
[mm] \Rightarrow \summe_{i=1}^{n} i^{3} [/mm] + 2 [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] i (n+1) + [mm] (n+1)^{2}
[/mm]
> Erinnere Dich auch daran, daß Du [mm]\summe_1^ni[/mm] kennst.
Was meinst du damit? Ich könnte [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] i darstellen als [mm] \bruch{n(n+1)}{2}, [/mm] aber ich denke dass ist hier nicht angebracht.
Kann ich denn [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] i darstellen als
[mm] \wurzel{(\summe_{i=1}^{n} i)^{2}} [/mm] ???
Gruß, Ralf
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Hallo,
stell Rückfragen in Zukunft als Fragen, roter Kasten, dann werden sie schnell gesehen.
> > Verwende davor zunächst für [mm](\summe_{i=1}^{n}i +(n+1))^{2}[/mm]
> > die binomische Formel, (Dein einer Summand ist
> > [mm]\summe_{i=1}^{n}i[/mm] , der andere (n+1).)
>
> das habe ich folgendermaßen probiert, komme aber nicht
> mehr weiter...
> [mm]\Rightarrow (\summe_{i=1}^{n} i)^{2}[/mm] + 2[ [mm]\summe_{i=1}^{n}[/mm] i ](n+1) + [mm](n+1)^{2}[/mm]
> (nach Anw. IV)
> [mm]\Rightarrow \summe_{i=1}^{n} i^{3}[/mm] + 2 [[mm]\summe_{i=1}^{n}[/mm] i ] (n+1) + [mm](n+1)^{2}[/mm]
>
> > Erinnere Dich auch daran, daß Du [mm]\summe_1^ni[/mm] kennst.
>
> Was meinst du damit? Ich könnte [mm]\summe_{i=1}^{n}[/mm] i
> darstellen als [mm]\bruch{n(n+1)}{2},[/mm]
Genau das meinte ich.
> aber ich denke dass ist
> hier nicht angebracht.
Wieso hältst Du das für unangebracht?
Du hattest es doch gerade bewiesen, da kannst Du es doch nehmen?
Hast Du's mal durchgezogen?
Du mußt doch dann nur noch zeigen, daß [mm] 2*\bruch{n(n+1)}{2}*(n+1) [/mm] + [mm] (n+1)^2 [/mm] dasselbe ist wie [mm] (n+1)^3.
[/mm]
Wenn Du im ersten Ausdruck geschickt ausklammerst, hast Du's in Nullkommanix.
> Kann ich denn [mm]\summe_{i=1}^{n}[/mm] i darstellen als
> [mm]\wurzel{(\summe_{i=1}^{n} i)^{2}}[/mm] ???
Ja, prinzipiell schon, aber ich entdecke keinen Vorteil darin.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:00 Sa 10.10.2009 | | Autor: | RalU |
| Aufgabe | hallo,
ich denke ich habs rausbekommen. Danke für die Vorschläge zur Lösung.
Trotzdem bitte ich nochmals um Hilfe bei den beiden letzten Teilaufgaben, bei denen ich ebenfalls im (IS) scheiter.
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3) war ja: z.z.
[mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k(k+1)} [/mm] = 1 - [mm] \bruch{1}{n+1}
[/mm]
...
(IS): [mm] (IV):\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k(k+1)} [/mm] = 1 - [mm] \bruch{1}{n+1}
[/mm]
z.z. E(n) [mm] \Rightarrow [/mm] E(n+1) gilt.
also:
[mm] \summe_{k=1}^{n+1} \bruch{1}{k(k+1)} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k(k+1)} [/mm] + [mm] \bruch{1}{(n+1)((n+1)+1)} [/mm] = 1 - [mm] \bruch{1}{(n+1)+1}
[/mm]
nach Anw. (IV) gilt:
1 - [mm] \bruch{1}{n+1} [/mm] + [mm] \bruch{1}{(n+1)((n+1)+1)} [/mm] = 1 - [mm] \bruch{1}{(n+1)+1}
[/mm]
Hier komme ich wieder nicht weiter.
Die letzte Aufgabe war:
z.z. Sei x [mm] \in [/mm] IR \ {1}. Dann gilt [mm] \summe_{k=0}^{n-1}x^{k} [/mm] = [mm] \bruch{1-x^{n}}{1-x} [/mm] für alle n [mm] \in [/mm] IN und n >=1
Beweis: vollst. Induktion über n
(IA) n=1 (da für n=1 n.d.) (Berechnung ausgelasssen)
Es gilt E(1)!
(IS) [mm] (IV):\summe_{k=0}^{n-1}x^{k} [/mm] = [mm] \bruch{1-x^{n}}{1-x}
[/mm]
z.z. E(n) [mm] \Rightarrow [/mm] E(n+1) gilt.
[mm] also:\summe_{k=0}^{(n+1)-1}x^{k} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n-1}x^{k} [/mm] + [mm] x^{(n+1)}=\bruch{1-x^{(n+1)}}{1-x}
[/mm]
nach Anw. der IV gilt:
[mm] \Rightarrow \bruch{1-x^{n}}{1-x} [/mm] + [mm] x^{(n+1)}=\bruch{1-x^{(n+1)}}{1-x}
[/mm]
auch hier weiß ich jetzt nicht mehr weiter. Binomische Formel scheint ja hier nicht zu funktionieren.
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> 3) war ja: z.z.
> [mm]\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k(k+1)}[/mm] = 1 - [mm]\bruch{1}{n+1}[/mm]
>
> ...
> (IS): [mm](IV):\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k(k+1)}[/mm] = 1 -
> [mm]\bruch{1}{n+1}[/mm]
>
> z.z. E(n) [mm]\Rightarrow[/mm] E(n+1) gilt.
>
> also:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n+1} \bruch{1}{k(k+1)}[/mm] =
> [mm]\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k(k+1)}[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{(n+1)((n+1)+1)}[/mm] = 1 - [mm]\bruch{1}{(n+1)+1}[/mm]
>
> nach Anw. (IV) gilt:
> 1 - [mm]\bruch{1}{n+1}[/mm] + [mm]\bruch{1}{(n+1)((n+1)+1)}[/mm] = 1 - [mm]\bruch{1}{(n+1)+1}[/mm]
>
> Hier komme ich wieder nicht weiter.
Hallo,
das Stichwort heißt hier "Bruchrechnung".
Du willst doch zeigen, daß
1 - [mm]\bruch{1}{n+1}[/mm] + [mm]\bruch{1}{(n+1)((n+2)}[/mm] = 1 - [mm]\bruch{1}{(n+2}[/mm]
<==>
- [mm]\bruch{1}{n+1}[/mm] + [mm]\bruch{1}{(n+1)((n+2)}[/mm] = - [mm]\bruch{1}{(n+2}[/mm]
Bring's auf den Hauptnenner und vergleiche.
>
>
> Die letzte Aufgabe war:
> z.z. Sei x [mm]\in[/mm] IR \ {1}. Dann gilt [mm]\summe_{k=0}^{n-1}x^{k}[/mm]
> = [mm]\bruch{1-x^{n}}{1-x}[/mm] für alle n [mm]\in[/mm] IN und n >=1
>
> Beweis: vollst. Induktion über n
> (IA) n=1 (da für n=1 n.d.) (Berechnung ausgelasssen)
> Es gilt E(1)!
>
> (IS) [mm](IV):\summe_{k=0}^{n-1}x^{k}[/mm] = [mm]\bruch{1-x^{n}}{1-x}[/mm]
> z.z. E(n) [mm]\Rightarrow[/mm] E(n+1) gilt.
> [mm]also:\summe_{k=0}^{(n+1)-1}x^{k}[/mm] = [mm]\summe_{k=0}^{n-1}x^{k}[/mm] + [mm]x^{\red{(n)}}=\bruch{1-x^{(n+1)}}{1-x}[/mm]
> nach Anw. der IV gilt:
> [mm]\Rightarrow \bruch{1-x^{n}}{1-x}[/mm] + [mm]x^{\red{(n)}}=\bruch{1-x^{(n+1)}}{1-x}[/mm]
Bring alles auf einen Nenner.
Gruß v. Angela
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> auch hier weiß ich jetzt nicht mehr weiter. Binomische
> Formel scheint ja hier nicht zu funktionieren.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:56 Sa 10.10.2009 | | Autor: | RalU |
| Aufgabe | hallo und nochmal danke für die Tipps.
Die letzte Aufgabe konnte ich damit lösen.
Die andere noch nicht:
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> Du willst doch zeigen, daß
>
> 1 - [mm]\bruch{1}{n+1}[/mm] + [mm]\bruch{1}{(n+1)((n+2)}[/mm] = 1 -
> [mm]\bruch{1}{(n+2)}[/mm]
>
> <==>
>
> - [mm]\bruch{1}{n+1}[/mm] + [mm]\bruch{1}{(n+1)(n+2)}[/mm] = -
> [mm]\bruch{1}{(n+2)}[/mm]
>
> Bring's auf den Hauptnenner und vergleiche.
das habe ich mal probiert:
<==> [mm] -\bruch{1}{n+1}+ \bruch{1}{(n+1)(n+2)}= [/mm] - [mm] \bruch{1}{(n+2)}
[/mm]
<==> [mm] -\bruch{n+2}{(n+1)(n+2)}+ \bruch{1}{(n+1)(n+2)}= [/mm] - [mm] \bruch{1}{(n+2)}
[/mm]
<==> [mm] -\bruch{(n+2)+1}{(n+1)(n+2)}= [/mm] - [mm] \bruch{1}{(n+2)}
[/mm]
irgendwie bringt mich das nicht weiter....
Gruß, Ralf
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> Die andere noch nicht:
>
>
> > Du willst doch zeigen, daß
> >
> > 1 - [mm]\bruch{1}{n+1}[/mm] + [mm]\bruch{1}{(n+1)((n+2)}[/mm] = 1 -
> > [mm]\bruch{1}{(n+2)}[/mm]
> >
> > <==>
> >
> > - [mm]\bruch{1}{n+1}[/mm] + [mm]\bruch{1}{(n+1)(n+2)}[/mm] = -
> > [mm]\bruch{1}{(n+2)}[/mm]
> >
> > Bring's auf den Hauptnenner und vergleiche.
>
> das habe ich mal probiert:
> <==> [mm]-\bruch{1}{n+1}+ \bruch{1}{(n+1)(n+2)}=[/mm] -
> [mm]\bruch{1}{(n+2)}[/mm]
> <==> [mm]-\bruch{n+2}{(n+1)(n+2)}+ \bruch{1}{(n+1)(n+2)}=[/mm] -
> [mm]\bruch{1}{(n+2)}[/mm]
> <==> [mm]-\bruch{(n+2)+1}{(n+1)(n+2)}=[/mm] - [mm]\bruch{1}{(n+2)}[/mm]
Hallo,
das ist falsch.
Es muß heißen
[mm]\bruch{-(n+2)+1}{(n+1)(n+2)}=[/mm] - [mm]\bruch{1}{(n+2)}[/mm]
Zum Vergleichen mußt Du natürlich den Nenner auf der anderen Seite auch auf (n+1)(n+2) bringen. (Irgendwie hast Du Defizite beim Rechnen mit Brüchen, von denen Du Dich schleunigst trennen solltest.)
Gruß v. Angela
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