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Hallo. Ich habe mal eine ganz kurze Frage. Ich soll eine Indexverschiebung von [mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] zu [mm] \summe_{k=0}^{...} [/mm] und
von [mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] zu [mm] \summe_{k=...}^{n+1} [/mm] machen. Gibt es dort ein allgemeines Vorgehen, dass ich mich dort mal selber probieren kann, oder ist das jetzt pures ablesen???
MFG domenigge135
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> Hallo. Ich habe mal eine ganz kurze Frage. Ich soll eine
> Indexverschiebung von [mm]\summe_{k=1}^{n}[/mm] zu
> [mm]\summe_{k=0}^{...}[/mm] und
> von [mm]\summe_{k=1}^{n}[/mm] zu [mm]\summe_{k=...}^{n+1}[/mm] machen. Gibt
> es dort ein allgemeines Vorgehen, dass ich mich dort mal
> selber probieren kann, oder ist das jetzt pures ablesen???
>
> MFG domenigge135
hallo domenigge,
um von [mm]\summe_{k=1}^{n}[/mm] zu [mm]\summe_{k=0}^{...}[/mm] zu kommen,
kannst du zuerst einen neuen Index j einführen: j=k-1, d.h. k=k(j)=j+1. Nachdem du die Summe
mit diesem neuen Summationsindex geschrieben und alle in der Summation vorkommenden
k durch Terme mit j ersetzt hast, kannst du am Schluss die j einfach wieder in k "umtaufen".
Beispiel:
[mm]\summe_{k=1}^{n}{k^3}[/mm] = [mm]\summe_{j+1=1}^{n}{(k(j))^3}[/mm]= [mm]\summe_{j=0}^{n-1}{(j+1)^3}[/mm]= [mm]\summe_{k=0}^{n-1}{(k+1)^3}[/mm]
LG al-Chwarizmi
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Okay. Statt j wähle ich jetzt mal k'.
Ich mache zunächst die Indexverschiebung von [mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] zu [mm] \summe_{k=0}^{...}.
[/mm]
ich wähle k'=k-1 [mm] \Rightarrow [/mm] k'=1-1 [mm] \Rightarrow [/mm] k'=0
und k=k'+1 [mm] \Rightarrow [/mm] k=0+1 [mm] \Rightarrow [/mm] k=1 [mm] \Rightarrow [/mm] k-1
also [mm] \summe_{k'=0}^{n-1}
[/mm]
bzw. wenn ich es für dein Beispiel anwende:
[mm] \summe_{k=1}^{n}{k^3}
[/mm]
Ich wähle k'=k-1 [mm] \Rightarrow [/mm] k'=1-1 [mm] \Rightarrow [/mm] k'=0
und k=k'+1 [mm] \Rightarrow [/mm] k=0+1 [mm] \Rightarrow [/mm] k=1 [mm] \Rightarrow [/mm] k-1
also: [mm] \summe_{k'=0}^{n-1}{k'^3}=0^3+...+(n-1)^3
[/mm]
Okay. scheint nicht so ganz richtig zu sein oder???
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> bzw. wenn ich es für dein Beispiel anwende:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n}{k^3}[/mm]
>
> Ich wähle k'=k-1 [mm]\Rightarrow[/mm] k'=1-1 [mm]\Rightarrow[/mm] k'=0
> und k=k'+1 [mm]\Rightarrow[/mm] k=0+1 [mm]\Rightarrow[/mm] k=1 [mm]\Rightarrow[/mm]
> k-1
>
> also: [mm]\summe_{k'=0}^{n-1}{k'^3}=0^3+...+(n-1)^3[/mm]
>
> Okay. scheint nicht so ganz richtig zu sein oder???
Hallo,
nein, ganz richtig ist das nicht.
Denn es ist ja
[mm] \summe_{k=1}^{n}{k^3}=1^3+2^3+3^3+...+(n-1)^3+n^3, [/mm] und es ist
[mm] \summe_{k'=0}^{n-1}{k'^3}=0^3+...+(n-1)^3.
[/mm]
Aber Du willst ja die Indizes so verschieben, daß die Summe gleich bleibt.
Der Trick: wenn Du statt von 1 bis n lieber von 0 bis (n-1) summieren möchtest, mußt Du das k hinter dem Summenzeichen um 1 vergrößern, also so:
[mm] \summe_{k=1}^{n}{k^3}=\summe_{k'=0}^{n-1}{(k'+1)^3}.
[/mm]
Dann stimmt's, rechne es nach.
Gruß v. Angela
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ah ja. Jetzt sehe ich den Fehler. Dankechön.
MFG domenigge135
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