Indexverschiebung < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 09:49 Sa 19.02.2011 | | Autor: | piccolo1986 |
HEy, ich wollt mal fragen, ob ich folgende Inexverschiebung so machen kann:
da die Grenzen [mm] -\infty [/mm] bis [mm] \infty [/mm] sind wollte ich folgendes umschreiben: dabei meint E(...) den Erwartungswert)
[mm] \summe_{j,k=-\infty}^{\infty}\Psi_{j}\Psi_{k}E(X_{t+h-j}X_{t-k})=\summe_{j,k=-\infty}^{\infty}\Psi_{j}\Psi_{k}E(X_{t+h-j+k}X_{t})
[/mm]
Ich hab also um k verschoben und da j und k von [mm] -\infty [/mm] bis [mm] \infty [/mm] laufen kann ich das dann so schreiben.
Wäre schon wenn mir das jemand bestätigen könnte, ganz sicher bin ich mir nämlich nicht 
mfg piccolo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:12 Sa 19.02.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> HEy, ich wollt mal fragen, ob ich folgende Inexverschiebung
> so machen kann:
>
> da die Grenzen [mm]-\infty[/mm] bis [mm]\infty[/mm] sind wollte ich
> folgendes umschreiben: dabei meint E(...) den
> Erwartungswert)
>
> [mm]\summe_{j,k=-\infty}^{\infty}\Psi_{j}\Psi_{k}E(X_{t+h-j}X_{t-k})=\summe_{j,k=-\infty}^{\infty}\Psi_{j}\Psi_{k}E(X_{t+h-j+k}X_{t})[/mm]
>
> Ich hab also um k verschoben und da j und k von [mm]-\infty[/mm] bis
> [mm]\infty[/mm] laufen kann ich das dann so schreiben.
>
> Wäre schon wenn mir das jemand bestätigen könnte, ganz
> sicher bin ich mir nämlich nicht
ich sehe da keinen Indexshift:
Wenn Du einen Indexshift sauber(er) aufschreibst, dann machst Du das mit (einer) zusätzlichen Variable(n), etwa
[mm] $$\sum_{m=0}^\infty \sum_{n=0}^\infty a_{m,n}=\sum_{s=5}^\infty \sum_{t=-2}^\infty a_{s-5,t+2}\,.$$
[/mm]
(Hier wäre dann [mm] $s=s(m)=m+5\,$ [/mm] und $t=t(n)=n-2$)
Noch genauer kann man das (in Fällen wie oben oder in analogen Fällen) meinetwegen auch mit (einer) zusätzlichen, injektiven Funktion(en) [mm] $\phi: \IN_0 \to \IZ$ [/mm] (oben wäre dieses [mm] $\phi$ [/mm] dann jeweils $s: [mm] \IN_0 \to \IZ$ [/mm] bzw. $t: [mm] \IN_0 \to \IZ$) [/mm] formulieren, die (jeweils) wenigstens eine gewisse weitere Eigenschaft haben sollte.
Bei Dir sehe ich derartiges in
[mm] $$\summe_{j,k=-\infty}^{\infty}\Psi_{j}\Psi_{k}E(X_{t+h-j}X_{t-k})=\summe_{j,k=-\infty}^{\infty}\Psi_{j}\Psi_{k}E(X_{t+h-j+k}X_{t})$$
[/mm]
allerdings nicht (denn bei den Indizes der [mm] $\Psi$'s [/mm] hat sich nichts getan!), sondern maximal, dass Du
$$h [mm] \leftrightarrow h+k$$
und
$$t-k \leftrightarrow t$$
ersetzt hast.
Ob Du das darfst, weiß ich nicht. Vielleicht weiß auch jmd. anderes da eher Bescheid, wenn wir mal den Kontext, in dem diese Summe auftaucht, erklärt bekommen und was genau nun auch die $\Psi$'s sind und was das $h\,$ und das $t\,$ dabei ist.
P.P.S.:
Ein Indexshift dient bei Summen meist nur dazu, Summen umzuschreiben und "geeigneter zu indizeren", so dass man gewisse Strukturen vielleicht besser erkennt. Natürlich sollte sich da bei nichts an dem Summenwert ändern (analoges gilt für Reihen).
Bsp.:
$$\sum_{k=2}^n \frac{1}{k(k-1)}=\sum_{k=2}^n \left(\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}\right)=\sum_{k=2}^n \frac{1}{k-1}-\left(\sum_{k=2}^n \frac{1}{k}\right)\,.$$
Macht man nun in der letzten Summen den (einfachen) Indexshift $p=p(k)=k-1\,,$ so erhält man
$$=\sum_{p=1}^{p(n)=n-1} \frac{1}{p}-\left(\sum_{k=2}^n \frac{1}{k}\right)=\frac{1}{1}-\frac{1}{n}=1-{1 \over n}\,.$$
Gruß,
Marcel
[/mm]
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> Hallo,
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> > HEy, ich wollt mal fragen, ob ich folgende Inexverschiebung
> > so machen kann:
> >
> > da die Grenzen [mm]-\infty[/mm] bis [mm]\infty[/mm] sind wollte ich
> > folgendes umschreiben: dabei meint E(...) den
> > Erwartungswert)
> >
> >
> [mm]\summe_{j,k=-\infty}^{\infty}\Psi_{j}\Psi_{k}E(X_{t+h-j}X_{t-k})=\summe_{j,k=-\infty}^{\infty}\Psi_{j}\Psi_{k}E(X_{t+h-j+k}X_{t})[/mm]
> >
> > Ich hab also um k verschoben und da j und k von [mm]-\infty[/mm] bis
> > [mm]\infty[/mm] laufen kann ich das dann so schreiben.
> >
> > Wäre schon wenn mir das jemand bestätigen könnte, ganz
> > sicher bin ich mir nämlich nicht
>
> ich sehe da keinen Indexshift:
> Wenn Du einen Indexshift sauber(er) aufschreibst, dann
> machst Du das mit (einer) zusätzlichen Variable(n), etwa
> [mm]\sum_{m=0}^\infty \sum_{n=0}^\infty a_{m,n}=\sum_{s=5}^\infty \sum_{t=-2}^\infty a_{s-5,t+2}\,.[/mm]
>
> (Hier wäre dann [mm]s=s(m)=m+5\,[/mm] und [mm]t=t(n)=n-2[/mm])
>
> Noch genauer kann man das (in Fällen wie oben oder in
> analogen Fällen) meinetwegen auch mit (einer)
> zusätzlichen, injektiven Funktion(en) [mm]\phi: \IN_0 \to \IZ[/mm]
> (oben wäre dieses [mm]\phi[/mm] dann jeweils [mm]s: \IN_0 \to \IZ[/mm] bzw.
> [mm]t: \IN_0 \to \IZ[/mm]) formulieren, die (jeweils) wenigstens
> eine gewisse weitere Eigenschaft haben sollte.
>
> Bei Dir sehe ich derartiges in
> [mm]\summe_{j,k=-\infty}^{\infty}\Psi_{j}\Psi_{k}E(X_{t+h-j}X_{t-k})=\summe_{j,k=-\infty}^{\infty}\Psi_{j}\Psi_{k}E(X_{t+h-j+k}X_{t})[/mm]
> allerdings nicht (denn bei den Indizes der [mm]\Psi[/mm]'s hat sich
> nichts getan!), sondern maximal, dass Du
> [mm]h \leftrightarrow h+k[/mm]
> und
> [mm]t-k \leftrightarrow t[/mm]
> ersetzt hast.
>
> Ob Du das darfst, weiß ich nicht. Vielleicht weiß auch
> jmd. anderes da eher Bescheid, wenn wir mal den Kontext, in
> dem diese Summe auftaucht, erklärt bekommen und was genau
> nun auch die [mm]\Psi[/mm]'s sind und was das [mm]h\,[/mm] und das [mm]t\,[/mm] dabei
> ist.
>
Also es geht um einen stationären Prozess [mm] \{X_{t}\}mit [/mm] Autokovarianzfunktion [mm] \gamma, [/mm] es gilt [mm] \summe_{j=-\infty}^{\infty}|\Psi_{j}|<\infty. [/mm] Zudem sei [mm] Y_{t}=\Psi(B)X_{t}=\summe_{j=-\infty}^{\infty}\Psi_{j}X_{t-j} [/mm] und gezeigt werden soll, dass [mm] Y_{t} [/mm] ebenfalls stationär ist. Soviel zu den zusätzlichen Infos, die ich geben kann.
ich hätte jetzt gedacht, dass ich schreiben kann:
[mm] \summe_{j,k=-\infty}^{\infty}\Psi_{j}\Psi_{k}E(X_{t+h-j}X_{t-k})
[/mm]
[mm] =\summe_{j,k=-\infty}^{\infty}\Psi_{j+k}\Psi_{k+k}E(X_{t+h-j+k}X_{t-k+k})
[/mm]
= [mm] \summe_{j,k=-\infty}^{\infty}\Psi_{j+k}\Psi_{2k}E(X_{t+h-j+k}X_{t})
[/mm]
da die Grenzen von [mm] -\infty [/mm] bis [mm] \infty [/mm] laufen würde ich bei den Grenzen, bzw. Indizes beim Summenzeichen nichts ändern. Nun sind natürlich die Indizes bei den [mm] \Psi [/mm] 's komisch, dann diese sollen angeblich j und k sein, dies ist mir allerdings etwas schleierhaft
mfg
piccolo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:16 Di 22.02.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Also es geht um einen stationären Prozess [mm]\{X_{t}\}mit[/mm]
> Autokovarianzfunktion [mm]\gamma,[/mm] es gilt
> [mm]\summe_{j=-\infty}^{\infty}|\Psi_{j}|<\infty.[/mm] Zudem sei
> [mm]Y_{t}=\Psi(B)X_{t}=\summe_{j=-\infty}^{\infty}\Psi_{j}X_{t-j}[/mm]
> und gezeigt werden soll, dass [mm]Y_{t}[/mm] ebenfalls stationär
> ist. Soviel zu den zusätzlichen Infos, die ich geben
> kann.
>
> ich hätte jetzt gedacht, dass ich schreiben kann:
>
> [mm]\summe_{j,k=-\infty}^{\infty}\Psi_{j}\Psi_{k}E(X_{t+h-j}X_{t-k})[/mm]
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> [mm]=\summe_{j,k=-\infty}^{\infty}\Psi_{j+k}\Psi_{k+k}E(X_{t+h-j+k}X_{t-k+k})[/mm]
Nein, das geht nicht. Die Verschiebung [mm] $j\to [/mm] j+k$ ist noch ok, sofern die Doppelsumme absolut konvergiert. Aber du kannst nicht k um k verschieben, das wäre ja für jedes Summenglied eine andere Verschiebung. Die Verschiebung des Index k darf nicht von k abhängen.
Viele Grüße
Rainer
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