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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:31 Do 27.10.2005 | | Autor: | Didi |
Hallo,
Ich hab ein Problem mit folgender Aufgabe
Zeigen Sie, dass für alle n [mm] \ge [/mm] 1 gilt:
1- [mm] \bruch{1}{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{3} [/mm] - [mm] \bruch{1}{4} [/mm] +...+ [mm] \bruch{1}{2n-1} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n+1} [/mm] + [mm] \bruch{1}{n+2} [/mm] +...+ [mm] \bruch{1}{2n}
[/mm]
die linke Seite müsste ja einfach die alternierende harmonische Reihe sein, also [mm] \summe_{k=1}^{2n} (-1)^{k+1} [/mm] * 1/k
die rechte Seite müsste [mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{n+k} [/mm] sein
Folglich ist zu zeigen:
[mm] \summe_{k=1}^{2n} (-1)^{k+1} [/mm] * 1/k = [mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{n+k} [/mm]
Induktionsanfang: n=1
[mm] \summe_{k=1}^{2*1} (-1)^{k+1} [/mm] * 1/k = 1- 1/2 = 1/2
[mm] \summe_{k=1}^{1} \bruch{1}{n+k} [/mm] = 1/2
Dies ist also erfüllt.
Induktionsbehauptung:
Die Aussage sei wahr für n=1 => Schließe von n auf n+1
Induktionsschritt:
n [mm] \ge [/mm] 2
[mm] \summe_{k=1}^{2(n+1)} (-1)^{k+1} [/mm] * 1/k = [mm] \summe_{k=1}^{2n} (-1)^{k+1} [/mm] * 1/k + [mm] (-1)^{2n+1+1} [/mm] * [mm] \bruch{1}{2n+1}
[/mm]
= [mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{n+k} [/mm] + [mm] (-1)^{2n+2} [/mm] * [mm] \bruch{1}{2n+1}
[/mm]
= [mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{n+k} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2n+1}
[/mm]
[mm] =\summe_{k=1}^{n+1} \bruch{1}{n+k} [/mm]
q.e.d.
Ich glaube nur, dass ich das so nicht machen kann.
Ich weiß, dass es zwar etwas spät ist, aber vielleicht fällt ja jemandem spontan was besseres ein. Danke schon mal.
Ich habe die Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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Hallo!
> Ich hab ein Problem mit folgender Aufgabe
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> Zeigen Sie, dass für alle n [mm]\ge[/mm] 1 gilt:
>
> 1- [mm]\bruch{1}{2}[/mm] + [mm]\bruch{1}{3}[/mm] - [mm]\bruch{1}{4}[/mm] +...+
> [mm]\bruch{1}{2n-1}[/mm] - [mm]\bruch{1}{2n}[/mm] = [mm]\bruch{1}{n+1}[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{n+2}[/mm] +...+ [mm]\bruch{1}{2n}[/mm]
>
> die linke Seite müsste ja einfach die alternierende
> harmonische Reihe sein, also [mm]\summe_{k=1}^{2n} (-1)^{k+1}[/mm]
> * 1/k
>
> die rechte Seite müsste [mm]\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{n+k}[/mm]
> sein
>
> Folglich ist zu zeigen:
> [mm]\summe_{k=1}^{2n} (-1)^{k+1}[/mm] * 1/k = [mm]\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{n+k}[/mm]
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> Induktionsanfang: n=1
> [mm]\summe_{k=1}^{2*1} (-1)^{k+1}[/mm] * 1/k = 1- 1/2 = 1/2
> [mm]\summe_{k=1}^{1} \bruch{1}{n+k}[/mm] = 1/2
> Dies ist also erfüllt.
> Induktionsbehauptung:
> Die Aussage sei wahr für n=1 => Schließe von n auf n+1
>
> Induktionsschritt:
> n [mm]\ge[/mm] 2
> [mm]\summe_{k=1}^{2(n+1)} (-1)^{k+1}[/mm] * 1/k = [mm]\summe_{k=1}^{2n} (-1)^{k+1}[/mm]
> * 1/k + [mm](-1)^{2n+1+1}[/mm] * [mm]\bruch{1}{2n+1}[/mm]
Hier fehlt aber noch ein Summand. Wenn n sich um 1 erhöht, wird ja 2n um zwei erhöhrt, d. h., es kommen 2 Summanden hinzu. Verstehst du, was ich meine?
> = [mm]\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{n+k}[/mm] + [mm](-1)^{2n+2}[/mm] *
> [mm]\bruch{1}{2n+1}[/mm]
> = [mm]\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{n+k}[/mm] + [mm]\bruch{1}{2n+1}[/mm]
> [mm]=\summe_{k=1}^{n+1} \bruch{1}{n+k}[/mm]
> q.e.d.
Was du in deinem letzten Schritt hier gemacht hast, ist mir nicht ganz klar. Aber da ja vorher schon ein kleiner Fehler war, dürfte das so auch nicht hinkommen.
> Ich glaube nur, dass ich das so nicht machen kann.
> Ich weiß, dass es zwar etwas spät ist, aber vielleicht
> fällt ja jemandem spontan was besseres ein. Danke schon
> mal.
Na, nicht doch so pessimistisch. warum sollte man das so nicht machen können? Sieht doch eigentlich alles ganz gut aus.
Ich habe mich allerdings leider gerade verrechnet, so dass ich das hier erstmal sende, und vielleicht kommst du dann ja schon alleine weiter, ansonsten rechne ich evtl. noch ein bisschen.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:50 Do 27.10.2005 | | Autor: | Didi |
Danke schon mal.
Werd's damit nochmal versuchen.
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