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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:02 Di 10.10.2006 | | Autor: | FlorianJ |
| Aufgabe | Beweisen Sie, dass für alle n [mm] \in [/mm] N gilt:
[mm] \summe_{i=1}^{2^n} \bruch{1}{i} [/mm] < n+1 |
Hi zusammen!
Ich habe nicht so wirklich eine Ahnung wie man zweckgemäß an diese Aufgabe rangeht.
Mein Ansatz:
Der Induktionsanfang stimmt für n=1.
[mm] \summe_{i=1}^{2^1} \bruch{1}{i} [/mm] = [mm] \bruch{1}{1} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} [/mm] < 2 stimmt.
zZ: [mm] \summe_{i=1}^{2^{n+1}} \bruch{1}{i} [/mm] < n+2 = [mm] \summe_{i=1}^{2*2^n} \bruch{1}{i} [/mm] < n+2
ja das wars auch schon. klar ist, dass immer das bei n immer doppelt soviele elemente wie bei n-1 dazuaddiert werden, dass diese werte immer weiter gegen null konvergieren und dass [mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{i} =\bruch{2}{n(n+1)} [/mm] sein müsste. (beim letzten punkt habe ich einfach die summe über k invertiert, hoffe das geht - bin mir unsicher)
könnte es evtl in diese richtung gehen:
[mm] \summe_{i=1}^{2^n} \bruch{1}{i} [/mm] + [mm] \summe_{i=1}^{2^n} \bruch{1}{2^n} [/mm] < n+2
n+1+ [mm] \summe_{i=1}^{2^n} \bruch{1}{2^n} [/mm] < n+2
[mm] \summe_{i=1}^{2^n} \bruch{1}{2^n}<1 [/mm] qed?
wie gesagt, so richtig zweckmäßig sieht mir das nicht aus, bin um jede hilfe dankbar
vielen dank
Florian!
habe die frage nur hier gestellt :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:44 Mi 11.10.2006 | | Autor: | Adamantan |
Hallo Florian,
ich denke, das geht so aus folgendem Grund nicht:
Das hier steht ja fest (soll bewiesen werden): [mm] \summe_{i=1}^{2^n} \bruch{1}{i}
>
> [mm]\summe_{i=1}^{2^n} \bruch{1}{i}[/mm] + [mm]\summe_{i=1}^{2^n} \bruch{1}{2^n}[/mm]
> < n+2
>
> n+1+ [mm]\summe_{i=1}^{2^n} \bruch{1}{2^n}[/mm] < n+2
>
jetzt setzt du hier (auf der kleineren Seite) etwas ein, was größer ist als das Ursprüngliche und zudem ja noch bewiesen werden muss!
Du darfst die Seite verkleinern, aber nicht vergrößern - oder täusche ich mich?
Vielleicht kann ja jemand Stellung nehmen zu meiner Mitteilung.
Gruß
Adamantan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:22 Mi 11.10.2006 | | Autor: | statler |
Hey Florian!
zZ: [mm] \summe_{i=1}^{2^{n+1}} \bruch{1}{i} [/mm] < n+2
Aber es ist doch [mm] \summe_{i=1}^{2^{n+1}} \bruch{1}{i} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{2^{n}} \bruch{1}{i} [/mm] + [mm] \summe_{i=2^{n}+1}^{2^{n+1}} \bruch{1}{i}
[/mm]
< n+1 + [mm] \summe_{i=2^{n}+1}^{2^{n+1}} \bruch{1}{i} [/mm] (nach Ind.-vor.)
< n+1 + [mm] \summe_{i=2^{n}+1}^{2^{n+1}} \bruch{1}{2^{n}+1}
[/mm]
(ich ersetze alle Summanden durch den größten)
= n+1 + [mm] 2^{n} \* \bruch{1}{2^{n}+1}
[/mm]
(es gibt [mm] 2^{n} [/mm] Summanden, und alle sind gleich)
< n+1 + [mm] 2^{n} \* \bruch{1}{2^{n}}
[/mm]
(ich mache den einen Faktor noch ein bißchen größer)
= n+1 +1 = n+2
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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