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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:30 Sa 20.11.2004 | | Autor: | Reaper |
geg.: (1 + [mm] a)^n [/mm] >= 1 + na für alle a [mm] \in \IR,a [/mm] > -1 und für alle n [mm] \in \IN [/mm] (Bernoulli'sche Ungleichung).
Ich weiss auch nicht mal ansatzwesie wie ich das Beispiel lösen könnte da ich mir eigentlich dachte dass Induktion nur für all natürlichen Zhalen gilt und nicht auch noch für andere Zahlensysteme. Wäre nett wenn ihr mir auf die Sprünge helfen könntet.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:41 Sa 20.11.2004 | | Autor: | Hanno |
Hallo Reaper!
Zuerst die Induktionsverankerung:
[mm] $(1+a)^0=1\geq 1+0\cdot [/mm] a$
Nun der Induktionsschritt:
[mm] $(1+a)^{n+1}=(1+a)^n\cdot [/mm] (1+a)$
Nach Induktionsverankerung gilt nun:
[mm] $(1+a)^n\cdot (1+a)\geq (1+na)(1+a)=1+a+na+na^2\geq 1+(n+1)\cdot [/mm] a$, q.e.d.
War' doch halb so wild, oder?
Liebe Grüße,
Hanno
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:39 Sa 20.11.2004 | | Autor: | Reaper |
Ich hätte das anders gemacht :
n->n+1
Induktionsbehauptung: [mm] (1+a)^n [/mm] + (1+a)^(n+1) >= 1+(n+1)*a
Induktionsbeweis:
(1+na) + (1+a)^(n+1).........= 1+(n+1)*a was für mich logischer ist aber leider falsch
Wieso lasst du einfach ein [mm] (1+a)^n [/mm] wegfallen?
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Vorsicht, nicht durcheinanderbringen:
die Indunktionsvoraussetzung (IV) muss lauten: die Behauptung aus der Aufgabenstellung gelte für ein bel. [mm]n \in \IN[/mm], also:
(IV): [mm](1+a)^n \ge 1+an[/mm] für ein bel. [mm]n \in \IN[/mm]
Und nun der Ind.schritt:
[mm]n \to n+1[/mm] : da muss du auf der linken Seite statt dem [mm]n[/mm] das [mm]n+1[/mm] einsetzen, umformen, und irgendwo die (IV) anwenden, so dass dann irgendwann auf der rechten Seite die [mm]n+1[/mm]-Version aus der Behauptung steht.
Und bei deinem Versuch kommt eine Summe vor, die es eigentlich nicht gibt.
Du schreibt (in der [mm]n+1[/mm]-Version): [mm](1+a)^n+(1+a)^{n+1}[/mm]
Das ist aber nicht richtig, denn die Behauptung gilt nicht für die Summe der ganzen [mm](1+a)^n[/mm], sondern nur für "jedes [mm](1+a)^n[/mm] für sich allein".
Also muss gezeigt werden: [mm](1+a)^{n+1} \ge 1+(n+1)a[/mm] (jeweils linke und rechte Seite der Behauptung in der n+1-Version)
Da hast du wahrscheinlich in letzter Zeit manchmal irgendwelche Summenformeln mit der V.I. bewiesen, und das jetzt durcheinandergebracht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:38 Sa 20.11.2004 | | Autor: | Reaper |
Puhh, danke für deine Hilfe. Hätte jetzt schon fast vor jeder Indiktionsgleichung unbewusst ein Summenzeichen gesetzt da wir bisher nur Formeln mit Summenzeichen beweisen mussten
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