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Hallo zusammen. Wir hatten gerade das Thema vollständige Induktion. Mein Problem bei diesem Thema ist der Beweis.
z.B. soll ich mittels vollständiger Induktion beweisen, dass für alle natürlichen Zahlen [mm] n\in \IN [/mm] gilt.
[mm] \summe_{i=0}^{n} 2^k=2^n^+^1-1
[/mm]
Induktionsanfang: Konkrete Rechnung für n=0
[mm] 2^0=2^0^+^1-1=1=2-1=1=1 [/mm] (wäre somit erfüllt).
Induktionsvorraussetzung:
[mm] \summe_{i=0}^{n} 2^k=2^n^+^1-1 [/mm] (sei auch erfüllt für [mm] n\ge0)
[/mm]
Induktionsbehauptung:
[mm] \summe_{i=0}^{n+1} 2^k=2^n^+^1^+^1-1=2^k=2^n^+^2-1
[/mm]
Induktionsbeweis: Hier scheitere ich immer. Bzw. stimmt mein weg nicht mit dem Vom Tutor überein. Wie muss ich jetzt weiterrechnen, um das konkret zu beweisen??? Gibt es für den Beweis einen weg, den man bei jeder Induktion anwenden kann???
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Hallo Domenick,
achte etwas mehr auf den Summationsindex, so wie's da steht, ist die Aussage nicht sonderlich sinnvoll 
Also statt i nehmen wir k als Laufindex
Beim eigentlichen Induktionsbeweis musst du die Indultionsbehauptung zeigen. Dazu darfst und musst und sollst du die Induktionsvoraussetzung benutzen.
Wie zeigt man nun die Gleichheit der Terme in der Indunktionsbeh.?
Nun, nimm den linken Term her und forme ihn so um, dass du die Induktionsvor. anwenden kannst und bastel das dann weiter zusammen bis du die rechte Seite dastehen hast.
Also Indbeh.: [mm] $\sum\limits_{k=0}^{n+1}2^k=2^{(n+1)+1}-1$
[/mm]
Schauen wir mal:
[mm] $\sum\limits_{k=0}^{n+1}2^k=\left(\red{\sum\limits_{k=0}^n2^k}\right)+2^{n+1}=\red{2^{n+1}-1}+2^{n+1}$
[/mm]
Hier habe ich im ersten Schritt den letzen Summanden der Summe, die bis n+1 lief, herausgenommen und extra hinten drangeschrieben.
Dann läuft die Summe nur noch bis n und ich kann die Induktionsvoraussetzung darauf anwenden (rot)
Das forme nun noch weiter um, bis [mm] $=...=2^{(n+1)+1}-1$ [/mm] rauskommt
LG
schachuzipus
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Gut das wäre dann [mm] 2*2^n^+^1-1=2^n^+^2-1
[/mm]
Wäre das denn sinnvoll, wenn ich diesen Weg immer so gehe??? Es gibt ja auch einfachere Induktionen wie z.B. Für
[mm] \summe_{k=1}^{n}=\bruch{n(n+1)(2n+1)}{6}
[/mm]
IA: Konkrete Rechnung für n=1
[mm] \bruch{1(1+1)(2*1+1)}{6}=\bruch{2*3}{6}=1 [/mm] (wäre also erfüllt)
[mm] IV:\summe_{k=1}^{n}=\bruch{n(n+1)(2n+1)}{6} [/mm] (sei auch erfüllt für [mm] \ge [/mm] 0)
[mm] IBeh.:IV:\summe_{k=1}^{n+1}=\bruch{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}
[/mm]
IBew.:???
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Hallo,
ja das ist prinzipiell der angebrachte Weg.
> Gut das wäre dann [mm]2*2^n^+^1-1=2^n^+^2-1[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
genau
>
> Wäre das denn sinnvoll, wenn ich diesen Weg immer so
> gehe??? Es gibt ja auch einfachere Induktionen wie z.B.
> Für
> [mm]\summe_{k=1}^{n}\red{k^2}=\bruch{n(n+1)(2n+1)}{6}[/mm]
> IA: Konkrete Rechnung für n=1
> [mm]\bruch{1(1+1)(2*1+1)}{6}=\bruch{2*3}{6}=1[/mm] (wäre also
> erfüllt)
> [mm]IV:\summe_{k=1}^{n}\red{k^2}=\bruch{n(n+1)(2n+1)}{6}[/mm] (sei auch
> erfüllt für [mm]\ge[/mm] 0)
> [mm]IBeh.:IV:\summe_{k=1}^{n+1}\red{k^2}=\bruch{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}[/mm]
> IBew.:???
Wieder die linke Seite hernehmen und versuchen, mittels Ind.vor. umzuformen:
[mm] $\summe_{k=1}^{n+1}k^2=\red{\left(\summe_{k=1}^nk^2\right)}+(n+1)^2=\red{\bruch{n(n+1)(2n+1)}{6}}+(n+1)^2$ [/mm] nach Ind.vor.
[mm] $=\bruch{n(n+1)(2n+1)}{6}+\frac{6(n+1)^2}{6}=\frac{n+1}{6}\cdot{}(n(2n+2)+6(n+1))=...$
[/mm]
und weiter umformen, bis die rechte Seite der Ind.beh, dasteht...
LG
schachuzipus
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Okay das ergibt sinn.
Aber woher nehme ich das [mm] k^2. [/mm] Das war ja in der Aufgabe nicht vorgegeben.
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Hi,
Ich denke die [mm]2^k[/mm] aus deiner Aufgabe ist versehentlich bei der Besprechung eine [mm]k^2[/mm] geworden.
[mm]\summe_{k=1}^{n+1}2^k=\red{\left(\summe_{k=1}^n2^k\right)}+(n+1)^2=\red{\bruch{n(n+1)(2n+1)}{6}}+(n+1)^2[/mm]
Für die [mm]2^k[/mm] kannst du ganz normal die Induktionvorraussetzung einsetzen. Es ist also "nur" ein Tippfehler. Der Rest der oben steht stimmt, auch wenn vorher [mm]k^2 [/mm] steht, da du diesen Teil, ja durch die IV erstetzt.
Grüße,
Mareike
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Hallo Mareike,
nein, das passt so ja nicht
Die zweite Induktion ist gerade die Beh, dass die Summe der ersten n Quadratzahlen gleich [mm] \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} [/mm] ist
Also [mm] \sum\limits_{k=1}^nk^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
[/mm]
Im post oben hat Domenick vergessen, das mit hinzuschreiben, da stand die Beh.: [mm] \sum\limits_{k=1}^n=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
[/mm]
Das ergibt ja keinen Sinn. Worüber soll denn da summiert werden.
Die Aussage für [mm] \sum 2^k [/mm] war ja eine andere
LG
schachuzipus
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Ja genau!!!
Und genau das ist auch mein Problem.
In der Aufgabe steht ich soll die vollständige Induktion für [mm] S_n=\bruch{n(n+1)(2n+1)}{6} [/mm] durchführen.
hatte ich ja dann auch gemacht nur ohne Summenzeichen und alles. Das mir auch komisch vor. Deshalb wollte ich wissen, woher das [mm] k^2 [/mm] mit der Summe herkommt??? herkommt??? Denn erst das erscheint mir ebenfalls sinnvoll für eine Induktion.
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Hi,
habt ihr denn vllt irgendwo in der VL oder Übung oder in ner Bemerkung vorab vereinbart, dass [mm] $S_n$ [/mm] die Summe der ersten n Quadratzahlen ist, also [mm] $S_n=\sum\limits_{k=1}^nk^2$ [/mm] ??
Denn das ist genau die Behauptung, die da stehen sollte.
Kannste ja auch mal nach googlen
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:37 Sa 10.11.2007 | | Autor: | dodov8423 |
Ahso ja kein sein. Hatte ich dann nur nicht mitgeschrieben . Aber kann ich ja dann noch schnell ncachtragen. Dankeschön mein Wochenende ist gerettet.
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