Induktion < Induktion < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Zeigen sie : Falls m , n natürliche Zahlen sind und n > m , so ist n - m eine natürliche Zahl.
Hinweis : Induktion nach m. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo ich weiß nicht wie der Induktionsschritt hier anzuwenden ist , aber geht das auch nicht anders ( Wäre trotzdem schön , wenn man mir die Induktion mal zeigt  )
Mein Ansatz ist aber:
n > m [mm] \Rightarrow [/mm] n - m > 0
aus n - m [mm] \Rightarrow [/mm] n > 0 und n - m > 0
Reicht das nun nicht schon?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:52 Fr 25.04.2008 | | Autor: | abakus |
> Zeigen sie : Falls m , n natürliche Zahlen sind und n > m
> , so ist n - m eine natürliche Zahl.
>
> Hinweis : Induktion nach m.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo ich weiß nicht wie der Induktionsschritt hier
> anzuwenden ist , aber geht das auch nicht anders ( Wäre
> trotzdem schön , wenn man mir die Induktion mal zeigt
> )
>
> Mein Ansatz ist aber:
>
> n > m [mm]\Rightarrow[/mm] n - m > 0
>
> aus n - m [mm]\Rightarrow[/mm] n > 0 und n - m > 0
>
> Reicht das nun nicht schon?
Das ist kein Induktionsbeweis, denn es fehlt ja schon der Induktionsanfang.
Es müsste etwa so aussehen:
Induktionsanfang: m=1, also n-1 [mm] \in \IN [/mm] gilt.
Begründung: Da n>m (hier konkret n>1) gilt, besitzt n einen Vorgänger.
Ind.-Voraussetztung: n-m [mm] \in \IN
[/mm]
Ind.-Behauptung: n-(m+1) [mm] \in \IN
[/mm]
Viele Grüße
Abakus
|
|
|
| |
|
Ja so weit wäre ich mit Induktion auch gekommen , aber ich weiß nicht ob das dann wirklich als bewiesen bzw. formal richtig gezeigt gilt. Deshalb habe ich einen anderen Weg gesucht
|
|
|
| |
|
Hallo,
verlangt war offenbar ein Beweis durch Induktion. Dies ist möglich auf Grund der Axiome der natürlichen Zahlen (1 ist natürliche Zahl; jede nat. Zahl hat einen Nachfolger; jede nat. Zahl [mm]\not= 1 [/mm] ist Nachfolger einer nat. Zahl; etc.).
Gehe ich richtig in der Annahme, dass die Aufgabe in diesem Zusammenhang gestellt wurde ?
Da ihr bestimmt schon seit Jahren (mehr oder weniger erfolgreich) mit natürlichen Zahlen gerechnet habt, scheint es dir aber möglicherweise ziemlich witzlos, so etwas "Selbstverständliches" noch auf "spitzfindige" Art zu beweisen...
Geh' also trotzdem so vor, wie abakus vorschlägt.
Gruß al-Ch.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:39 Fr 25.04.2008 | | Autor: | TheFreak |
Hi all,
hi DieerstenSchritte,
> Hinweis : Induktion nach m.
Bis Du sicher, dass der Hinweis nicht "Induktion nach n" heisen müsste?
Hi abakus,
du führst die Induktion nach m aus... grübel ... was nicht so schön ist, da dann "nur" für alle m<n und nicht für alle n der Beweis gilt.
Ich denke, Du bekommst auch noch das Problem, mit der I-Behauptung, dass [mm] n-(m+1)$\in \IN \forall$m [/mm] sei, weil das so nicht immer stimmt.
Beweis:
Da n>m, [mm] $\exists$c$\in \IN$, [/mm] c>0, mit n=m+c
Aus Deiner I.-Behauptung: n-(m+1) folgt nun m+c-(m+1)=m-m+c-1=c-1.
Da [mm] $\IN\ni$c$\ge$1 [/mm] gilt, kann ABER c=1 sein.
1-1=0 [mm] $\notin \IN$ [/mm] ( ich hoffe, dass Ihr hier die natürlichen Zahlen nicht ab 0 definiert habt [mm] $\IN_{0}$)
[/mm]
Grüße
The Freak
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:46 Fr 25.04.2008 | | Autor: | abakus |
> Hi all,
>
> hi DieerstenSchritte,
>
> > Hinweis : Induktion nach m.
> Bis Du sicher, dass der Hinweis nicht "Induktion nach n"
> heisen müsste?
>
>
> Hi abakus,
>
> du führst die Induktion nach m aus... grübel ... was nicht
> so schön ist, da dann "nur" für alle m<n und nicht für alle
> n der Beweis gilt.
- Ich bin nur dem zitierten Hinweis gefolgt.
- Da ich n nicht weiter spezifiziert habe, gilt der Beweis für jedes beliebige n, für das es eine noch kleinere Zahl m gibt.
>
> Ich denke, Du bekommst auch noch das Problem, mit der
> I-Behauptung, dass n-(m+1)[mm]\in \IN \forall[/mm]m sei, weil das so
> nicht immer stimmt.
> Beweis:
> Da n>m, [mm]\exists[/mm]c[mm]\in \IN[/mm], c>0, mit n=m+c
> Aus Deiner I.-Behauptung: n-(m+1) folgt nun
> m+c-(m+1)=m-m+c-1=c-1.
> Da [mm]\IN\ni[/mm]c[mm]\ge[/mm]1 gilt, kann ABER c=1 sein.
> 1-1=0 [mm]\notin \IN[/mm] ( ich hoffe, dass Ihr hier die
> natürlichen Zahlen nicht ab 0 definiert habt [mm]\IN_{0}[/mm])
Das ist ganz egal, ob man die natürlichen Zahlen nun mit oder ohne Null definiert. Wenn die Null nicht dabei ist, folgt aus der Voraussetzung n>m zwangsläufig, dass n mindestens 2 sein muss.
Viele Grüße
Abakus
>
> Grüße
> The Freak
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:19 So 27.04.2008 | | Autor: | TheFreak |
Du schreibst...
> ..-Da ich n nicht weiter spezifiziert habe, gilt der Beweis für jedes beliebige n, für das es eine noch kleinere Zahl m gibt.
Genau nur für alle m<n, und damit eben "nur" bis zu einem bestimmten [mm] n<\infty.
[/mm]
Unter einem Induktionsbeweis verstehe ich normalerweise den Schritt n->n+1, [mm] \forall n\in\IN, [/mm] ohne auf eine Schranke s [mm] \in \IN [/mm] : s=n+c, [mm] c\in\IN [/mm] treffen zu müssen. Aus diesem Blickwinkel betrachtet, ist - zumindest für mich - die Induktion nach m in der oben gestellen Aufgabe keine vollständige Induktion. (Deswegen auch meine Frage an "DieerstenSchritte", ob wirklich die "Induktion nach m" gefragt wurde).
Weiter denke ich, dass man [mm] n=\infty [/mm] nicht so einfach (an)nehmen darf/kann (Vorgängerproblem).
Außerdem ist da noch genau ein Problemchen mit Deinem Beweis...
> > Ich denke, Du bekommst auch noch das Problem, mit der
> > I-Behauptung, dass n-(m+1)$ [mm] \in \IN \forall [/mm] $m sei, weil das so
> > nicht immer stimmt.
> > Beweis:
> > Da n>m, $ [mm] \exists [/mm] $c$ [mm] \in \IN [/mm] $, c>0, mit n=m+c
> > Aus Deiner I.-Behauptung: n-(m+1) folgt nun
> > m+c-(m+1)=m-m+c-1=c-1.
> > Da $ [mm] \IN\ni [/mm] $c$ [mm] \ge [/mm] $1 gilt, kann ABER c=1 sein.
> > 1-1=0 $ [mm] \notin \IN [/mm] $ ( ich hoffe, dass Ihr hier die
> > natürlichen Zahlen nicht ab 0 definiert habt $ [mm] \IN_{0} [/mm] $)
Du schreibst ....
> Das ist ganz egal, ob man die natürlichen Zahlen nun mit
> oder ohne Null definiert. Wenn die Null nicht dabei ist,
> folgt aus der Voraussetzung n>m zwangsläufig, dass n
> mindestens 2 sein muss.
NEIN [mm] \IN [/mm] oder [mm] \IN_{0} [/mm] ist nicht egal!
Der "Beweis:Induktion nach m" bleibt für [mm] n,m\in\IN [/mm] fehlerhaft.
Das Gegenbeispiel zu Deinem "Beweis n-(m+1)[mm]\in \IN \forall[/mm]m<n".
Sei [mm] n,m\in \IN [/mm] : n>m.
Dann ist, wie Du schon sagst, n mindestens n=2 und m=1 da n>m>0 gilt.
Und da Du in Deiner I.-B. mit [mm] n-(m+1)\in\IN [/mm] rechnest ergibt sich [mm] 2-(1+1)=2-2=0\notin\IN [/mm] - ein WIDERSPRUCH und der Beweis für m<n ist kaputt.
Im Falle [mm] n,m\in \IN_{0} [/mm] ist das oben jedoch ok, da ja [mm] 0\in\IN_{0} [/mm] ist.
Weiter ist aber jetzt n mindestens n=1 und da nun [mm] n>m\ge0 [/mm] gilt [mm] \rightarrow [/mm] m=0.
Mit diesen Werten ergibt sich bei I.-B. mit [mm] n-(m+1)\in\IN_{0} [/mm] das Ergebnis [mm] 1-(0+1)=1-1=0\in\IN_{0}, [/mm] ist also auch ok.
So, das wars nun mit meinem Erbsenzählen.
Nix für ungut,
viele Grüße
The Freak
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:22 So 27.04.2008 | | Autor: | piet.t |
Hallo,
Ich find jetzt auch kein grundsätzliches Problem bei abakus Beweisidee...
> Genau nur für alle m<n, und damit eben "nur" bis zu einem
> bestimmten [mm]n<\infty.[/mm]
"Bestimmt" ist n aber nur für die untersuchte Fragestellung "ist n-m [mm] \in \IN [/mm] ?". aber die kann ich ja für jedes beliebige n stellen. OK, die Induktion ist nicht "vollständig", aber ausreichend für die Frage.
> Weiter denke ich, dass man [mm]n=\infty[/mm] nicht so einfach
> (an)nehmen darf/kann (Vorgängerproblem).
Das hat doch auch niemand angenommen ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
>
> Du schreibst ....
> > Das ist ganz egal, ob man die natürlichen Zahlen nun mit
> > oder ohne Null definiert. Wenn die Null nicht dabei ist,
> > folgt aus der Voraussetzung n>m zwangsläufig, dass n
> > mindestens 2 sein muss.
>
> NEIN [mm]\IN[/mm] oder [mm]\IN_{0}[/mm] ist nicht egal!
>
> Der "Beweis:Induktion nach m" bleibt für [mm]n,m\in\IN[/mm]
> fehlerhaft.
>
> Das Gegenbeispiel zu Deinem "Beweis n-(m+1)[mm]\in \IN \forall[/mm]m<n".
>
> Sei [mm]n,m\in \IN[/mm] : n>m.
> Dann ist, wie Du schon sagst, n mindestens n=2 und m=1 da
> n>m>0 gilt.
> Und da Du in Deiner I.-B. mit [mm]n-(m+1)\in\IN[/mm] rechnest
> ergibt sich [mm]2-(1+1)=2-2=0\notin\IN[/mm] - ein WIDERSPRUCH und
> der Beweis für m<n ist kaputt.
>
Hier muss man beachte, dass im Induktionschritt gefordert werden muss, dass $m+1 < n$ gilt - denn nur für diese soll ja gezeigt werden, dass $n-(m+1) [mm] \in \IN [/mm] $ gilt. Allerdings sehe ich hier noch nicht so richtig, wie denn nun der Induktionsschritt ablaufen soll...
Gruß
piet
|
|
|
|
