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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:05 Mo 15.09.2008 | | Autor: | rinchen |
| Aufgabe | | Für 1²+3²+...+(2n-1)² gebe man einen geschlossenen Ausdruck an (mit Beweis) |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ja ich hab schon so gut wie alles versucht nur mir fehlt irgenwie der richtige Ansatz
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> Für 1²+3²+...+(2n-1)² gebe man einen geschlossenen Ausdruck
> an (mit Beweis)
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
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> Ja ich hab schon so gut wie alles versucht nur mir fehlt
> irgenwie der richtige Ansatz
Hallo,
ich bin mir fast sicher, daß Ihr bereits gezeigt habt, wie man die Summe der Quadratzahlen [mm] 1^2+2^2+3^2+...+n^2 [/mm] als geschlossenen Ausdruck schreiben könnt.
Du sollst das nun für die Summe der Quadrate von ungeraden Zahlen herausfinden.
Das ist doch die Summe aller Quadrate minus die der Summe der geraden Quadrate,
also
[mm] \summe_{k=1}^{2n-1}k^2 [/mm] - [mm] \summe_{k=1}^{n-1}(2k)^2=
[/mm]
Wie kannst Du [mm] \summe_{k=1}^{n-1}(2k)^2 [/mm] anders schreiben? (Man kann etwas ausklammern.)
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:25 Mo 15.09.2008 | | Autor: | rinchen |
Kann ich nicht einfach die 2 ausklammern?? $ [mm] \summe_{k=1}^{n-1}(2k)^2 [/mm] $ also das ich ich dann $ [mm] \summe_{k=1}^{n-1}2*(k)^2$ [/mm] erhalte?
ach nee geht nicht^^ oje ich weiß es wirklich nicht das problem ist ich weiß das Ergebnis aber hab keine Ahnung wie ich drauf komme
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> Kann ich nicht einfach die 2 ausklammern??
> [mm]\summe_{k=1}^{n-1}(2k)^2[/mm] also das ich ich dann
> [mm]\summe_{k=1}^{n-1}2*(k)^2[/mm] erhalte? ach nee geht nicht^^
> oje ich weiß es wirklich nicht das problem ist ich weiß das
> Ergebnis aber hab keine Ahnung wie ich drauf komme
Hallo,
was ist denn [mm] (2k)^2 [/mm] ?
das ist 2k*2k= ???
was kannst Du also ausklammern?
Und: hast Du den geschlossenen Ausdruck für die Summe der Quadratzahlen gefunden?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:12 Mo 15.09.2008 | | Autor: | rinchen |
und was wenn mir das nichts sagt?! ich steh echt gerade wie der Ochs vorm Berg und raff garnichts
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Hallo,
welchen geschlossenen Ausdruck hattet Ihr denn für [mm] 1^2+2^2+3^2+...+n^2 [/mm] ?
Wie lautet dann der geschlossene Ausdruck für [mm] 1^2+2^2+3^2+...+(2n-1)^2 [/mm] ?
Du mußt schon ein bißchen darauf eingehen, was wir Dir sagen. Wenn Du immer nur sagst "Ich raff's nicht" kommen wir ja auch nicht weiter.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:37 Mo 15.09.2008 | | Autor: | rinchen |
ich weiß das ihr damit nichts anfangen könnt ich ärger mich nur über mich selbst das ich so eine Aufgabe nicht hin bekomme und irgendwie nichts verstehe^^ also wir hatten als Lösung [mm] \bruch{(n((4n^2)-1))}{3}
[/mm]
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Hallo Kathy,
> ich weiß das ihr damit nichts anfangen könnt ich ärger mich
> nur über mich selbst das ich so eine Aufgabe nicht hin
> bekomme und irgendwie nichts verstehe^^ also wir hatten als
> Lösung [mm]\bruch{(n((4n^2)-1))}{3}[/mm] ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Diese Lösung stimmt auch.
Du hast bisher so viele Hinweise bekommen, aber auf keinen Hinweis/keine Rückfrage reagiert.
Wie sollen wir denn helfen, wenn du auf die angebotene Hilfe nicht reagierst?
Ich fasse noch einmal zusammen, was du tun solltest.
Schreibe die Summenformel für die ersten n Quadratzahlen auf.
[mm] $\sum\limits_{k=1}^{n}k^2 [/mm] \ = \ ...$
Schreibe das hin.
Wenn das steht, schreibe entsprechend Angelas Hinweis hin:
[mm] $\sum\limits_{k=1}^{2n-1}k^2=...$ [/mm] und [mm] $\sum\limits_{k=1}^{n-1}(2k)^2=4\cdot{}\sum\limits_{k=1}^{n-1}k^2=...$ [/mm]
Dann berechne [mm] $\sum\limits_{k=1}^{2n-1}k^2 [/mm] \ - \ [mm] \sum\limits_{k=1}^{n-1}(2k)^2=\sum\limits_{k=1}^{2n-1}k^2 [/mm] \ - \ [mm] 4\cdot{}\sum\limits_{k=1}^{n-1}k^2=...$ [/mm]
Das ist alles nicht wild, suche wie gesagt die Formel für die Summe der ersten n Quadratzahlen raus, schreibe den Kram hin, der Rest ist reines Bruchrechnen ...
Also mal ran ...
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:27 Di 16.09.2008 | | Autor: | rinchen |
also [mm] \sum\limits_{k=1}^n k^2 [/mm] = [mm] \frac{(2n+1)n(n+1)}{6} [/mm] und davon zieh ich dann [mm] 4\cdot{}\sum\limits_{k=1}^{n-1}k^2=... [/mm] gerade ab? kann ich nicht auch einfach [mm] 4\cdot{} \sum\limits_{k=1}^n k^2 =4\cdot{} \frac{(2n+1)n(n+1)}{6} [/mm] abziehen?
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Hallo nochmal,
> also [mm]\sum\limits_{k=1}^n k^2[/mm] = [mm]\frac{(2n+1)n(n+1)}{6}[/mm]
Aha, da ist ja endlich die heiß ersehnte Formel 
> und davon zieh ich dann
> [mm]4\cdot{}\sum\limits_{k=1}^{n-1}k^2=...[/mm] gerade ab? kann ich
> nicht auch einfach [mm]4\cdot{} \sum\limits_{k=1}^n k^2 =4\cdot{} \frac{(2n+1)n(n+1)}{6}[/mm]
> abziehen?
Du musst im weiteren mit den oberen Grenzen der Summen aufpassen!
Die Formel in Reinform, wie du sie oben hingeschrieben hast, gilt für die Summe von 1 bis [mm] \red{n}
[/mm]
Hier musst du ja unter Verwendung der Formel [mm] $\sum\limits_{k=1}^{2n-1}k^2$ [/mm] und [mm] $4\cdot{}\sum\limits_{k=1}^{n-1}k^2$ [/mm] berechnen
Die oberen Grenzen sind dann [mm] $\blue{2n-1}$ [/mm] und [mm] $\green{n-1}$
[/mm]
Du musst das entsprechend in der Formel anpassen!
Ersetze einfach in der Formel [mm] $\red{n}$ [/mm] durch [mm] $\blue{2n-1}$ [/mm] bzw. [mm] $\green{n-1}$
[/mm]
Kommst du damit auf die Lösung?
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:59 Di 16.09.2008 | | Autor: | rinchen |
kann ich nicht [mm] \sum\limits_{k=1}^n (2k-1)^2 [/mm] rechnen und da den Binom ausrechen?
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Hallo nochmal,
> kann ich nicht [mm]\sum\limits_{k=1}^n (2k-1)^2[/mm] rechnen und
> da den Binom ausrechen?
klar, das ist sogar der schnellste Weg:
[mm] $\sum\limits_{k=1}^n (2k-1)^2=\sum\limits_{k=1}^n (4k^2-4k+1)=4\cdot{}\sum\limits_{k=1}^n k^2 [/mm] \ - \ [mm] 4\cdot{}\sum\limits_{k=1}^n [/mm] k \ + \ [mm] \sum\limits_{k=1}^n [/mm] 1$
Die Formeln für die Summen der ersten n natürlichen Zahlen und die der ersten n Quadratzahlen kennst du, also rechne mal alles zusammen ...
Gruß
schachuzipus
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![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]"){kind=small}
Gruß
