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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:44 Mi 12.11.2008 | | Autor: | Joan2 |
| Aufgabe | Zeigen Sie folgende Aussagen per Induktion:
a) Sei [mm] x_{j}, [/mm] j = 0,...,n durch die Rekursionsvorschrift
[mm] x_{0} [/mm] = 0
[mm] x_{j+1} [/mm] = [mm] x_{j}*b_{j}+a_{j}, [/mm] j = 0,...,n-1
gegeben. Dann gilt
[mm] x_{j} [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{j-1}a_{i}*\produkt_{k=i+1}^{j-1}b_{k} [/mm]
für j= 1,...,n
b) Falls [mm] x_{0} [/mm] und [mm] x_{j}, [/mm] j=1,...,n, die Ungleichungen
[mm] |x_{j+1}|\le |x_{j}|*|b_{j}| [/mm] + [mm] |a_{j}|, [/mm] j = 0,...,n-1
erfüllt und [mm] min_{j=0,...n}|b_{j}| \ge1 [/mm] ist, dann gilt
[mm] max_{j=0,...,n}|x_{j}| \le \summe_{i=0}^{n-1}|a_{i}*\produkt_{k=1}^{n-1}|b_{k}| [/mm] |
Ich bin mir bei der Lösung der Aufgaben etwas unsicher, insbesondere mit den Indizes. Hoffe jemand kann kurz mal drüberschauen.
a) Induktionsanfang:
j=0:
[mm] x_{0} [/mm] = 0
j=1:
[mm] x_{ 1} [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{0}a_{i}*\produkt_{k=i+1}^{0}b_{k} [/mm]
[mm] x_{1} [/mm] = [mm] a_{0}*b_{0}
[/mm]
Weil bei dieser Gleichung j erst bei 1 beginnt, habe ich j=1 eingesetzt. Aber [mm] x_{1} [/mm] ist nicht definiert. ???
Induktionsschluss
j [mm] \to [/mm] j+1:
[mm] x_{j+1} [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{j}a_{i}*\produkt_{k=i+1}^{j}b_{k}
[/mm]
[mm] x_{j+1} [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{j}a_{i}*\produkt_{k=i+1}^{j-1}b_{k}*b_{j}
[/mm]
[mm] x_{j+1} [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{j-1}a_{i}*\produkt_{k=i+1}^{j-1}b_{k}*b_{j}+a_{j}
[/mm]
[mm] x_{j+1} [/mm] = [mm] x_{j}*b_{j}+a_{j} [/mm]
b) Induktionsanfang
j = 0:
[mm] |x_{1}| \le |x_{0}|*|b_{0}|+|a_{0}|
[/mm]
[mm] |x_{1}| \le [/mm] 0 + [mm] |a_{0}|
[/mm]
1 [mm] \le |a_{0}| [/mm] da [mm] min_{j=0,...n}|a_{j}| \ge1
[/mm]
[mm] max_{j=0,...,n}|x_{0}| \le \summe_{i=0}^{n-1}|a_{i}*\produkt_{k=1}^{n-1}|b_{k}
[/mm]
[mm] max_{j=0,...,n}|0| \le \summe_{i=0}^{n-1}|a_{i}*\produkt_{k=1}^{n-1}|b_{k}
[/mm]
0 [mm] \le \summe_{i=0}^{n-1}|a_{i}*\produkt_{k=1}^{n-1}|b_{k} [/mm]
da Beträge addiert und multipliziert werden, ist das Ergebnis positiv und damit größer gleich Null
Induktionsschluss:
j [mm] \to [/mm] j+1:
[mm] max_{j=0,...,n}|x_{j+1}| \le \summe_{i=0}^{n-1}|a_{i}*\produkt_{k=1}^{n-1}|b_{k} [/mm] a) verwendet
[mm] max_{j=0,...,n}|x_{j+1}| \le [/mm] max [mm] |x_{j}|*|b_{j}| [/mm] + [mm] |a_{j}|
[/mm]
= [mm] \summe_{i=0}^{n-1}|a_{i}*\produkt_{k=1}^{n-1}|b_{k}|*|b_{j}|+|a_{j}|
[/mm]
= [mm] \summe_{i=0}^{n-1}|a_{i}*\produkt_{k=1}^{n-1}|b_{k}|
[/mm]
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:22 Do 13.11.2008 | | Autor: | Joan2 |
| Aufgabe | Sei [mm] x_{j}, [/mm] j = 0,...n durch die Rekursionsvorschrift
[mm] x_{0} [/mm] = 0
[mm] x_{j+1} [/mm] = [mm] x_{j}*b_{j} [/mm] + [mm] a_{j} [/mm] ,j = 0,..,n-1
gegeben. Dann gilt
[mm] x_{j} [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{j-1}a_{i}*\produkt_{k=i+1}^{j-1}b_{k} [/mm] für j = 1,...,n
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Ich versuche gerade diese Aufgabe durch Induktion zu beweisen. Am Ende bin ich auf ein Problem mit dem Produktzeichen gekommen:
[mm] \produkt_{k=1}^{0}b_{k}
[/mm]
Kann es überhaupt sein, dass dieses Produkt von 1 bis 0 laufen kann? Rückwärts??
Gruß
Joan
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:32 Do 13.11.2008 | | Autor: | esel |
Ist die untere Grenze größer als die Obere, so ist das Ergebnis des Produktes gleich 1
Gruß
esel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:37 Do 13.11.2008 | | Autor: | Joan2 |
Sorry, falschen Tread an dieser Stelle gesetzt.
Bitte ignorieren
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:45 Do 13.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Joan!
Bitte keine Doppelposts innerhalb des MatheRaums einstellen.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:49 Do 13.11.2008 | | Autor: | Joan2 |
Sorry, wollte ich nicht. Ich wollte eigentlich eine neue Frage stellen, aber die ist in meiner anderen Frage gelandet. Wird mir bei der Frage zum Thema Induktionsschluss trotzdem geholfen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:51 Do 13.11.2008 | | Autor: | Joan2 |
Ich glaub, ich bin beim Hilfeposten ganz durcheinander gekommen. Nochmals: Sorry
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:05 Do 13.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Joan!
> Ich wollte eigentlich eine neue Frage stellen, aber die ist in meiner
> anderen Frage gelandet.
Das habe ich so verschoben, damit eben nicht dieselbe Frage vom selben User mehrfach vorliegt.
Gruß
Loddar
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:45 Do 13.11.2008 | | Autor: | Joan2 |
| Aufgabe | Zeigen Sie folgende Aussagen per Induktion:
a) Sei [mm] x_{j}, [/mm] j = 0,...,n durch die Rekursionsvorschrift
[mm] x_{0} [/mm] = 0
[mm] x_{j+1} [/mm] = [mm] x_{j}*b_{j}+a_{j}, [/mm] j = 0,...,n-1
gegeben. Dann gilt
[mm] x_{j} [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{j-1}a_{i}*\produkt_{k=i+1}^{j-1}b_{k} [/mm]
für j= 1,...,n |
Induktionsanfang ist klar, aber Induktionsschluss ??
Induktionsschluss
j [mm] \to [/mm] j+1:
[mm] x_{j+1} [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{j}a_{i}*\produkt_{k=i+1}^{j}b_{k}
[/mm]
[mm] x_{j+1} [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{j}a_{i}*\produkt_{k=i+1}^{j-1}b_{k}*b_{j}
[/mm]
[mm] x_{j+1} [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{j-1}a_{i}*\produkt_{k=i+1}^{j-1}b_{k}*b_{j}+a_{j}*\produkt_{k=i+1}^{j}b_{k}
[/mm]
[mm] x_{j+1} [/mm] = [mm] x_{j}*b_{j}+a_{j}*\produkt_{k=i+1}^{j}b_{k}
[/mm]
Und genau hier hänge ich :( Wie komme ich jetzt von dieser Gleichung auf:
[mm] x_{j+1} [/mm] = [mm] x_{j}*b_{j}+a_{j} [/mm]
Liebe Grüße
Joan
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:37 So 16.11.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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