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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:39 Di 02.12.2008 | | Autor: | L1NK |
| Aufgabe | Gegeben ist folgende Polynomfunktion.
f(x) = anxn +an-1xn-1+· · ·+a1x1+a0
Beweise, dass die Polyfunktion dann gerade ist, wenn nur gerade Exponenten n auftreten. |
Hallo,
hab leider keinen Ansatz.
Weiß nur das mit den Symmetrien.
Aber denke das hilft mir da nicht weiter.
Gruss
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:17 Di 02.12.2008 | | Autor: | pelzig |
> Beweise, dass die Polyfunktion dann gerade ist, wenn nur
> gerade Exponenten n auftreten.
Besitzt das Polynom f nur gerade Exponenten, dann kann ich schreiben [mm] $f=\sum_{k=0}^m a_kx^{2k}$ [/mm] für gewisse [mm] $a_k\in [/mm] R$ und [mm] $m\in\IN$. [/mm] Aber was ist nun $f(-x)$?
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:47 Di 02.12.2008 | | Autor: | L1NK |
hallo, danke für die angabe,
aber hilft mir nicht wirklich weiter...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:00 Di 02.12.2008 | | Autor: | Dath |
Hallo.
Ich glaube, er meint folgendes: Wenn du ein Polynom geraden Grades hast, dann kannst du folgendes machen: Jedes Polynom geraden Grades ist automatisch 2k-ten Grades, wie er geschrieben hat. k ist dabei eine natürliche Zahl.
Mathematisch:
[mm]n \in \IN : n = 2k \Rightarrow \bruch{n} {2} = k[/mm]
Denn man kann jede geraden Zahl durch 2 teilen.
Beachte:
[mm] x^{2}= (-x)^{2}[/mm]
Ich hoffe, das hilft dir!
Viele Grüße,
Dath
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:24 Di 02.12.2008 | | Autor: | L1NK |
Hallo, danke für den Tipp. Verstehe das ja auch alles. NUr das Problem ist einfach, wie ich anfange zu beweisen...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:30 Di 02.12.2008 | | Autor: | Dath |
Also: Wenn du es nicht mit vollständiger Induktion beweisen musst, dann musst du keinen Induktionsanfang finden.
Ansonsten: Was ist die kleinste gerade Zahl, die Element des natürlichen Zahlenraums einschließlich der Null ist? Die Null!
Man erhält eine Parallele zur x-Achse und das ist eine gerade Funktion!
Ich hoffe ich habe deine Frage richtig verstanden, und dass ich helfen konnte!
Viele Grüße,
Dath
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:35 Mi 03.12.2008 | | Autor: | L1NK |
Wie müsste ich denn anfangen, wenn ich das induktiv beweisen will?
I.V.?
I.S.?
danke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:38 Mi 03.12.2008 | | Autor: | Dath |
Hi,
ich kann dir vielleicht helfen, wenn du mir erklärst, was deine Abkürzungen bedeuten :)
I.V.?
I.S.?
Viele Grüße,
Dath
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:38 Mi 03.12.2008 | | Autor: | L1NK |
hehe, sorry.
I.V. = Induktionsvoraussetzung oder Annahme
I.S. = Induktionsschluss oder Schritt
Gruss
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:05 Mi 03.12.2008 | | Autor: | L1NK |
Also
$ [mm] f(x)=\sum_{k=0}^n a_kx^{2k} [/mm] $
und
$ [mm] f(-x)=\sum_{k=0}^n a_k(-x)^{2k} [/mm] $
und wegen der 2 im Exponent wird -x wieder zu x
Also gilt: f(-x) = f(x)
Ist das alles?
Mehr muss ich da nicht zeigen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:42 Mi 03.12.2008 | | Autor: | fred97 |
Nimm die Darstellung von pelzig und weise nach, dass
f(x) = f(-x) für jedes x [mm] \in \IR [/mm] ist.
Dann bist Du fertig.
Das mit Induktion zu machen ist Blödsinn.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:49 Mi 03.12.2008 | | Autor: | L1NK |
Hallo, und wie weiß ich das nach??
F(x) hab ich ja.
Aber was ist f(-x)? Einfach dann anstelle dem x ein minus x? Das wird doch eh wieder positiv wegen dem 2k im Exponent.
Irgendwie fehlt mir der Durchblick...
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> Hallo, und wie weiß ich das nach??
> F(x) hab ich ja.
> Aber was ist f(-x)? Einfach dann anstelle dem x ein minus
> x?
Hallo,
ja, natürlich.
Wenn Du f(5) haben willst, setzt Du doch auch die 5 ein.
> Das wird doch eh wieder positiv wegen dem 2k im
> Exponent.
Ja. Vielleicht solltest Du Dich mal dran erinnern, was Du zeigen willst: f(x)=f(-x).
> Irgendwie fehlt mir der Durchblick...
ja, wenn man im Wald steht, übersieht man mitunter die Bäume.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:07 Mi 03.12.2008 | | Autor: | L1NK |
Also
$ [mm] f(x)=\sum_{k=0}^n a_kx^{2k} [/mm] $
und
$ [mm] f(-x)=\sum_{k=0}^n a_k(-x)^{2k} [/mm] $
und wegen der 2 im Exponent wird -x wieder zu x
Also gilt: f(-x) = f(x)
Ist das alles?
Mehr muss ich da nicht zeigen?
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> Also
> [mm]f(x)=\sum_{k=0}^n a_kx^{2k}[/mm]
> und
> [mm]f(-x)=\sum_{k=0}^n a_k(-x)^{2k}[/mm]
> und wegen der 2 im
> Exponent wird -x wieder zu x
> Also gilt: f(-x) = f(x)
Hallo,
gezeigt hast Du nun
Exponenten gerade ==> Funktion gerade
Du mußt noch zeigen
Funktion gerade ==> Exponenten gerade.
Gruß v. Angela
> Ist das alles?
> Mehr muss ich da nicht zeigen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:21 Mi 03.12.2008 | | Autor: | L1NK |
hm,
und wie mach ich das?
Die Funktion ist doch gerade, wenn f(x) = f(-x) ist.
Was nicht genau, was ich jetzt noch zeigen soll...??
Gruss
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> hm,
> und wie mach ich das?
> Die Funktion ist doch gerade, wenn f(x) = f(-x) ist.
> Was nicht genau, was ich jetzt noch zeigen soll...??
> Gruss
Hallo,
aus f(x) = f(-x) folgt 0=f(x)-f(-x).
f ist in hier ein allgmeines Polynom, schreib's also für f jeweils hin.
Zieh dann Deine Schlüsse. Ein Teil der Summanden fällt weg. Schließe dann, daß die Koeffizienten vor den ungeraden Potenzen allesamt =0 sein müssen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:38 Mi 03.12.2008 | | Autor: | L1NK |
Achso,
hab verstanden was du meinst.
Soll ich jetzt irgendeine willkürliche Polynomfunktion nehmen oder wie?
Oder so?
anxn +an-1xn-1+· · ·+a1x1+a0 - an(-x)n +an-1(-x)n-1+· · ·+a1(-x)1+a0 = 0
Was mach ich dann?
Hab das jetzt nicht extra alles als Exponent geschrieben...Hoffe du weißt, wie ich das meine...
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> Oder so?
> anxn +an-1xn-1+· · ·+a1x1+a0 - an(-x)n +an-1(-x)n-1+· ·
> ·+a1(-x)1+a0 = 0
Ja, natürlich so!
> Was mach ich dann?
Rechnen.
> Hab das jetzt nicht extra alles als Exponent
> geschrieben...Hoffe du weißt, wie ich das meine...
ich weiß schon, was Du meinst. Es ist trotzdem unschön. So viel Mühe machen Indizes und exponenten nicht.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:46 Mi 03.12.2008 | | Autor: | L1NK |
Also die a0 kann ich so abziehen.
Aber was mach mit dem Rest?
Muss ich da vll. was ausklammern?
kann die doch nicht einfach subtrahieren...
hm
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> Also die a0 kann ich so abziehen.
> Aber was mach mit dem Rest?
> Muss ich da vll. was ausklammern?
> kann die doch nicht einfach subtrahieren...
> hm
Mannomann, das geht hier echt etwas schwerfällig vonstatten.
Hattest Du nicht bereits festgestellt, daß für gerade Exponenten [mm] x^n =(-x)^n [/mm] ist ?
Damit sind doch schonmal Die geraden verschwunden. Was behältst Du?
Und wann ist ein Polynom = dem Nullpolynom?
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:03 Mi 03.12.2008 | | Autor: | L1NK |
Also ich behalte dann die ungeraden Summanden wie z.B. n-1, n-3, n-4 usw.
Was ein Nullpolynom ist weiß ich nicht...
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