Induktion < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo, ich habe per Induktion bewiesen, dass folgendes gilt:
[mm] 5^{2^{n-2}}=1+k2^n [/mm] wobei k eine eine ungerade ganz Zahl ist. [mm] (n\ge [/mm] 3)
Nun soll n durch n-1 ersetzt werden und, wodurch die obige Gleichung nicht mehr gültig sein soll, weil k ungerade ist. Leider komme ich aber nicht auf dieses Ergebnis. Kann mir evtl jemand helfen?
hier mal meine Überlegung:
zu zeigen ist, dass [mm] 5^{2^{n-3}}=1+k2^{n-1} [/mm] nicht gilt, weil k ungerade ist
Induktionsanfang: n=3
[mm] 5^{2^{3-3}}=5=1+k2^2=1+k2^{3-1} [/mm] gilt für k=1
Induktionsvoraussetzung (I.V.): [mm] 5^{2^{n-3}}=1+k2^{n-1}
[/mm]
Induktionsbehauptung (I.B.): [mm] 5^{2^{n-2}}=1+k2^{n}
[/mm]
also:
[mm] 5^{2^{n-2}}=5^{2^{n-3}}+1=5^{2^{n-3}*2}=(5^{2^{n-3}})^2
[/mm]
mit der I.V. gilt dann:
[mm] (1+k2^{n-1})^2=1+2k2^{n-1}+k^2*2^{2n-2}=1+2k^n+k^2*2^{2n-2} [/mm] = [mm] 1+M*2^n
[/mm]
dabei ist [mm] M=k+k^2*2^{n-2}.
[/mm]
Nun müsste aber doch M gerade sein, damit ich die Behauptung zeige, aber da k nach Voraussetzung ungerade ist, ist doch auch M ungerade.
Hab ich irgendwo nen Denkfehler???
mfg
piccolo
|
|
| |
|
> Hallo, ich habe per Induktion bewiesen, dass folgendes
> gilt:
>
> [mm]5^{2^{n-2}}=1+k2^n[/mm] wobei k eine eine ungerade ganz Zahl
> ist. [mm](n\ge[/mm] 3)
Hallo,
warum [mm] n\ge [/mm] 3?
Für n=2 funktioniert das ja auch.
>
> Nun soll n durch n-1 ersetzt werden und, wodurch die obige
> Gleichung nicht mehr gültig sein soll, weil k ungerade
> ist.
Wer sagt das mit welchen Worten?
Wie lautet die Originalaufgabe?
Ich kapier's nicht. Wenn Du obige Aussage gezeigt hast, dann gilt natürlich [mm] $5^{2^{n-3}}=1+k*2^{n-1}$ [/mm] mit k ungerade, hier allerdings wirklich für [mm] n\ge [/mm] 3.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
>
> > Hallo, ich habe per Induktion bewiesen, dass folgendes
> > gilt:
> >
> > [mm]5^{2^{n-2}}=1+k2^n[/mm] wobei k eine eine ungerade ganz Zahl
> > ist. [mm](n\ge[/mm] 3)
>
> Hallo,
>
> warum [mm]n\ge[/mm] 3?
> Für n=2 funktioniert das ja auch.
>
> >
> > Nun soll n durch n-1 ersetzt werden und, wodurch die obige
> > Gleichung nicht mehr gültig sein soll, weil k ungerade
> > ist.
>
> Wer sagt das mit welchen Worten?
> Wie lautet die Originalaufgabe?
hallo, ich habs aus nem Buch zur Zahlentheorie von Niven und Zuckerman, dort soll gezeigt werden, dass die Ordnung von 5 in der multiplikativen Gruppe modulo [mm] 2^n [/mm] gleich [mm] 2^{n-2} [/mm] ist, wenn [mm] n\ge [/mm] 3.
Dazu soll per Induktion gezeigt werden, dass gilt [mm] 5^{2^{n-2}}=1+k2^n [/mm] für k ungerade. Das hab ich auch hinbekommen, durch diese Gleichung gilt doch dann [mm] 5^{2^{n-2}}\equiv 1(mod2^{n}).
[/mm]
Nun soll gezeigt werden, dass [mm] 2^{n-2} [/mm] aber tatsächlich sogar die Ordnung von 5 in dieser Gruppe ist, dadurch soll n durch (n-1) ersetzt werden. Hieraus soll dann wiederum folgen, dass [mm] 2^{n-3} [/mm] nicht die Ordnung von 5 in dieser Gruppe ist, weil k ungerade ist.
Muss man denn hier noch anders begründen, warum die Ordnung nicht [mm] 2^{n-3} [/mm] ist???
mfg piccolo
>
> Ich kapier's nicht. Wenn Du obige Aussage gezeigt hast,
> dann gilt natürlich [mm]5^{2^{n-3}}=1+k*2^{n-1}[/mm] mit k
> ungerade, hier allerdings wirklich für [mm]n\ge[/mm] 3.
>
> Gruß v. Angela
>
|
|
|
| |
|
> >
> > > Hallo, ich habe per Induktion bewiesen, dass folgendes
> > > gilt:
> > >
> > > [mm]5^{2^{n-2}}=1+k2^n[/mm] wobei k eine eine ungerade ganz Zahl
> > > ist. [mm](n\ge[/mm] 3)
> >
> > Hallo,
> >
> > warum [mm]n\ge[/mm] 3?
> > Für n=2 funktioniert das ja auch.
> >
> > >
> > > Nun soll n durch n-1 ersetzt werden und, wodurch die obige
> > > Gleichung nicht mehr gültig sein soll, weil k ungerade
> > > ist.
> >
> > Wer sagt das mit welchen Worten?
> > Wie lautet die Originalaufgabe?
> hallo, ich habs aus nem Buch zur Zahlentheorie von Niven
> und Zuckerman, dort soll gezeigt werden, dass die Ordnung
> von 5 in der multiplikativen Gruppe modulo [mm]2^n[/mm] gleich
> [mm]2^{n-2}[/mm] ist, wenn [mm]n\ge[/mm] 3.
> Dazu soll per Induktion gezeigt werden, dass gilt
> [mm]5^{2^{n-2}}=1+k2^n[/mm] für k ungerade. Das hab ich auch
> hinbekommen, durch diese Gleichung gilt doch dann
> [mm]5^{2^{n-2}}\equiv 1(mod2^{n}).[/mm]
>
> Nun soll gezeigt werden, dass [mm]2^{n-2}[/mm] aber tatsächlich
> sogar die Ordnung von 5 in dieser Gruppe ist, dadurch soll
> n durch (n-1) ersetzt werden. Hieraus soll dann wiederum
> folgen, dass [mm]2^{n-3}[/mm] nicht die Ordnung von 5 in dieser
> Gruppe ist, weil k ungerade ist.
Achso!
Du sollst jetzt also vorrechnen, daß [mm] 5^2^{n-3} [/mm] nicht konguent zu 1 mod [mm] 2^n [/mm] ist.
Demnach, was Du zuvor bewiesen hast, git es ein ungerades k mit
[mm] 5^2^{n-3}=1+k*2^{n-1}=1+\bruch{k}{2}*2^n, [/mm] und dieses [mm] \bruch{k}{2} [/mm] ist keine ganze Zahl.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Ahh, da war mein Denkfehler, danke für die schnelle Antwort 
mfg piccolo
|
|
|
|
