Induktion < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Beweisen Sie mit vollständiger Induktion:
Falls p [mm] \ge [/mm] 3 eine natürliche Zahl ist, so gilt: [mm] p^{n}>n^{2} [/mm] für alle n [mm] \in \IN [/mm] |
Hallo Leute!
Hier ist mein Ansatz:
I.A.: [mm] n_{0}=1 [/mm] A(n): [mm] p^{1} [/mm] > 1 (wahr)
I.V.: A(n) gilt für ein n [mm] \in \IN [/mm] mit [mm] n\ge n_{0}
[/mm]
I.S.:(n [mm] \to [/mm] n+1)
[mm] p^{n+1}=p^{n}+p [/mm] > [mm] n^{2}*p=n^{2}+3 [/mm] da [mm] p\ge [/mm] 3
Ab hier komm ich leider nicht weiter...
Ist alles soweit richtig?
Kann mir jemand einen Tip geben?
Gruß
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:02 Mo 15.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Beweisen Sie mit vollständiger Induktion:
>
> Falls p [mm]\ge[/mm] 3 eine natürliche Zahl ist, so gilt:
> [mm]p^{n}>n^{2}[/mm] für alle n [mm]\in \IN[/mm]
> Hallo Leute!
>
> Hier ist mein Ansatz:
>
> I.A.: [mm]n_{0}=1[/mm] A(n): [mm]p^{1}[/mm] > 1 (wahr)
>
> I.V.: A(n) gilt für ein n [mm]\in \IN[/mm] mit [mm]n\ge n_{0}[/mm]
>
> I.S.:(n [mm]\to[/mm] n+1)
>
> [mm]p^{n+1}=p^{n}+p[/mm] > [mm]n^{2}*p=n^{2}+3[/mm] da [mm]p\ge[/mm] 3
Das ist doch Quatsch !
Richtig: [mm] $p^{n+1}=p^{n}*p> n^{2}*p$
[/mm]
>
> Ab hier komm ich leider nicht weiter...
> Ist alles soweit richtig?
> Kann mir jemand einen Tip geben?
Wenn Du noch zeigen kannst, dass
[mm] n^2p\ge (n+1)^2
[/mm]
für n [mm] \ge [/mm] 2 gilt, bist Du fertig
FRED
>
> Gruß
>
>
|
|
|
| |
|
Danke für die Hilfe!
Ab dem Ansatz [mm] $p^{n+1}=p^{n}*p> n^{2}*p$ [/mm] fällt mir nicht ein wie ich weiter komme.
Warum hier [mm] n_{0} [/mm] > 2 gewählt werden?
Gruß
|
|
|
| |
|
Hallo defjam123,
> Danke für die Hilfe!
>
> Ab dem Ansatz [mm]p^{n+1}=p^{n}*p> n^{2}*p[/mm] fällt mir nicht
> ein wie ich weiter komme.
Nach Vor. ist doch [mm]p\ge 3[/mm], also [mm]p^{n+1}=p^np>n^2p>3n^2[/mm]
Bleibt zu zeigen, dass [mm]3n^2>(n+1)^2=n^2+2n+1[/mm] ist, dass also [mm]2n^2>2n+1[/mm] ist
>
> Warum hier [mm]n_{0}[/mm] > 2 gewählt werden?
>
> Gruß
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Danke schachuzipus!
> Hallo defjam123,
>
> > Danke für die Hilfe!
> >
> > Ab dem Ansatz [mm]p^{n+1}=p^{n}*p> n^{2}*p[/mm] fällt mir nicht
> > ein wie ich weiter komme.
>
> Nach Vor. ist doch [mm]p\ge 3[/mm], also [mm]p^{n+1}=p^np>n^2p>3n^2[/mm]
>
Das ist verständlich und bis hier hin bin auch gekommen
> Bleibt zu zeigen, dass [mm]3n^2>(n+1)^2=n^2+2n+1[/mm] ist, dass also
> [mm]2n^2>2n+1[/mm] ist
Den Schritt versteh ich leider immer noch nicht ganz. Weiß nicht wie ich es zeigen kann
>
> >
> > Warum hier [mm]n_{0}[/mm] > 2 gewählt werden?
> >
> > Gruß
>
> LG
>
> schachuzipus
>
Gruß
defam123
|
|
|
| |
|
Weißt du nicht warum man[mm] 3n^2>(n+1)^2=n^2+2n+1 [/mm]zeigen muss
oder wie man das zeigt?[mm]3n^2=n^2+n^2+n^2>n^2+n^2+1=n^2+n*n+1\ldots[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:42 Di 16.11.2010 | | Autor: | defjam123 |
danke.
Warum man es zeigt habe ich verstanden, aber wusste nicht wie es ich zeigen soll.
Gruß
|
|
|
| |
|
Hallo Leute!
Bin gerade für die HöMa Klausur am Montag am üben.
Bei der Aufgabe versteh ich nicht warum ich bei [mm] n_{0}=2 [/mm] anfangen solll und nicht bei [mm] n_{0}=1
[/mm]
Gruss
|
|
|
| |
|
> Hallo Leute!
>
> Bin gerade für die HöMa Klausur am Montag am üben.
> Bei der Aufgabe versteh ich nicht warum ich bei [mm]n_{0}=2[/mm]
> anfangen solll und nicht bei [mm]n_{0}=1[/mm]
fred schrieb:
> Wenn Du noch zeigen kannst, dass $ [mm] n^2p\ge (n+1)^2 [/mm] $ für n $ [mm] \ge [/mm] $ 2 gilt, bist Du fertig
Das soll im Induktionsschritt gezeigt werden, weswegen es völlig OK ist, die Behauptung nur für [mm] n\geq2 [/mm] zu zeigen. Den Fall n=1 hast du doch bereits im Induktionsanfang behandelt.
Gruß
|
|
|
|
