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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:30 Sa 26.02.2011 | | Autor: | Spencer |
| Aufgabe | | [mm] 2^n [/mm] > [mm] n^2 \IN \ge [/mm] 5 |
Hallo Leute,
habe eine kurze Frage zu dieser Indktion
Induktionsanfang und Induktionsverausetzung sind klar
IS: [mm] 2^{n+1}=2*2^n [/mm] > [mm] 2*n^2= [/mm] [mm] n^2+n^2>n^2+3n [/mm] > [mm] n^2+2n+1 =(n+1)^2
[/mm]
kann mir jemand den mitteleren Teil [mm] n^2+n^2 [/mm] ... erklären?
danke für die Hilfe
gruß Spencer
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Hallo Spencer,
> [mm]2^n[/mm] > [mm]n^2 \IN \ge[/mm] 5
> Hallo Leute,
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> habe eine kurze Frage zu dieser Indktion
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> Induktionsanfang und Induktionsverausetzung sind klar
>
> IS: [mm]2^{n+1}=2*2^n[/mm] > [mm]2*n^2=[/mm] [mm]n^2+n^2>n^2+3n[/mm] > [mm]n^2+2n+1 =(n+1)^2[/mm]
>
> kann mir jemand den mitteleren Teil [mm]n^2+n^2[/mm] ... erklären?
>
Nun, da die Ungleichung erst ab n=5 erfüllt sein soll, ist
[mm]n^{2}=n*n \ge 5n > 4n > 3n =2n+n \ge 2n+5> 2n+1[/mm]
>
> danke für die Hilfe
>
> gruß Spencer
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:22 Sa 26.02.2011 | | Autor: | Spencer |
| Aufgabe | | [mm] 2^n [/mm] < (n-1)! |
ok cool das hab ich verstanden ...
ich hab noch eine Aufgabe ....
kann ich die ganze Aufgabe auch rumdrehen ?
also (n-1)! > [mm] 2^n [/mm]
und dann den Induktionsschluss machen?
IS: ((n+1)-1)! > [mm] 2^{(n+1)} [/mm] = (n+1) * (n-1)! > [mm] (n+1)*2^n [/mm] > [mm] 2^n*2 [/mm] = [mm] 2^{(n+1)} [/mm]
oder man das von der anderen Seite her zeigen?
gruß
Spencer
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Hallo Spencer,
> [mm]2^n[/mm] < (n-1)!
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Hier muss es doch lauten
[mm]2^n \blue{>} (n-1)!, \ n \in \IN[/mm]
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> ok cool das hab ich verstanden ...
>
> ich hab noch eine Aufgabe ....
>
>
> kann ich die ganze Aufgabe auch rumdrehen ?
>
> also (n-1)! > [mm]2^n[/mm]
>
> und dann den Induktionsschluss machen?
>
> IS: ((n+1)-1)! > [mm]2^{(n+1)}[/mm] = (n+1) * (n-1)! > [mm](n+1)*2^n[/mm] >
> [mm]2^n*2[/mm] = [mm]2^{(n+1)}[/mm]
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> oder man das von der anderen Seite her zeigen?
>
>
> gruß
> Spencer
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:48 Sa 26.02.2011 | | Autor: | Spencer |
stimmt, das wurde im Skript falsch abgetippt .... !
dennoch kann man die ganze Aufgabe dann rumdrehen ...
also [mm] 2^n [/mm] > (n-1)! [mm] \gdw [/mm] (n-1)! < [mm] 2^n [/mm]
IS: ((n+1)-1)! < [mm] 2^{(n+1)} [/mm] = (n+1) * (n-1)! < (n+1) * [mm] 2^n [/mm] < [mm] 2^n [/mm] * 2 = [mm] 2^{(n+1)} [/mm]
kann man das so hinschreiben?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:59 Sa 26.02.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo Spencer!
Ja, man kann grunsätzlich die Ungleichung auch umkehren, was aber auch dasselbe ist.
Nein, man kann das so nicht hinschreiben (wenn es richtig sein soll), da hier Gleichheitszeichen und Ungleichheitszeichen vermixt werden. Zudem löst Du den Term mit der Fakultät falsch auf.
Eine mögliche Darstellung wäre:
$[(n+1)-1]! \ = \ n! \ = \ n*(n-1)! \ < \ [mm] n*2^n [/mm] \ < \ [mm] 2*2^n [/mm] \ = \ [mm] 2^{n+1}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:49 Mo 28.02.2011 | | Autor: | Spencer |
eine Frage hab ich noch zu dem obigen warum ist n! = n* (n-1)!
du ziehst aus n! , n raus ?! und dann bleibt n-1! stehen?! müsste dann net auch noch (n-2).... stehen bleiben?
n! ist ja nix anderes wie 1*2*3*4.... (n-2)*(n-1)*n
gruß Spencer
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Hallo nochmal,
m.E. ist die urprünglich gepostete Aussage die richtige, also
[mm] $2^n [/mm] \ [mm] \red{<} [/mm] \ (n-1)!$ für alle [mm] $n\in\IN, [/mm] n>5$
So ist etwa in Loddars Antwort doch die Kette falsch:
[mm] $\ldots n\cdot{}2^n [/mm] \ [mm] \blue{<} [/mm] \ [mm] 2\cdot{}2^n=2^{n+1}$ [/mm] ist doch nicht richtig ... 
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:50 Mo 28.02.2011 | | Autor: | Spencer |
danke für die Erklärung!
Wir hatten heute auch darüber gerätzelt ob es < oder > sein muss ... sind aber auch zu keinem eindeutigen Ergebniss gekommen...!
hehe "anderes wie" ist bei uns Dialekt
gruß Spencer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:04 Mo 28.02.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
eigentlich gibts da nix zu rätseln rechne [mm] 2^6 [/mm] und 5! aus, dann nich 27 und 6!
dann ist eindeutig, welche Ungleichung für n>5 gilt.
(Dialekt ist schriftlich nur üblich wenn alles darin geschrieben wird!)
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:16 Mo 28.02.2011 | | Autor: | Spencer |
ok die Aufgabe habe ich jetzt verstanden!
aber nochmal zu dem "anderes wie" darf man das nicht sagen? oder ist das von der Deutschen Rechtschreibung nicht richtig? Bin ja offen was zu lernen
gruß Spencer
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und dann bleibt n-1! stehen?!
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
![[eek]](/images/smileys/eek.gif "[eek]"){kind=small}
