Induktion, Binomialkoeffizient < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | [mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] kk =! (n+1)-1 |
Zuerst setze ich ja für n wieder 1 ein.
Dann für n = (n+1)
--> [mm] \summe_{k=1}^{n+1} [/mm] kk =! ((n+1)+1)-1
[mm] \summe_{k=1}^{n+1} [/mm] kk = [mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] kk + (n+1)(n+1)
Muss ich also nicht nur (n+1) rechnen, sondern (n+1)(n+1), weil ich k * k habe?
Weiterhin würde ich ja dann kk durch (n+1)-1 ersetzen. Aber diesmal ja nicht zwei mal, sondern nur ein mal.
Hätte dann also:
(n+1)-1 + (n+1)(n+1) = ((n+1)+1)-1
umformen ergibt
(n+1) + (n+1)(n+1) -1 = (n+2)-1
jetzt steht weiter in der Lösung:
(n+1) * (1+(n+1) -1 = (n+2)-1
Wie wurde das denn jetzt so umgeformt? Warum wird aus dem + ein *?
(n+1)(n+2)-1 = (n+2)-1
(n+2)-1 = (n+2)-1
Sodass der Induktionsbeweis gegeben ist. Aber wo ist das (n+1) auf der rechten seite hin? verschollen? vom schwarzen Loch verschluckt?
Danke schon mal :)
|
|
| |
|
Hallo,
nutze unseren Editor, so kann das kein Mensch lesen ...
> [mm]\summe_{k=1}^{n}[/mm] kk =! (n+1)-1
Was steht in der Summe? "Kacka" oder [mm] $k\cdot{}k$, [/mm] also [mm] $k^2$
[/mm]
Und $=!$ soll [mm] $\neq$ [/mm] heißen?
Und rechterhand steht $(n+1)-1$, was $=n$ ist ...
> Zuerst setze ich ja für n wieder 1 ein.
>
> Dann für n = (n+1)
>
> --> [mm]\summe_{k=1}^{n+1}[/mm] kk =! ((n+1)+1)-1
> [mm]\summe_{k=1}^{n+1}[/mm] kk = [mm]\summe_{k=1}^{n}[/mm] kk + (n+1)(n+1)
> Muss ich also nicht nur (n+1) rechnen, sondern (n+1)(n+1),
> [color=red]weil ich k * k habe?[/color]
> Weiterhin würde ich ja dann kk durch (n+1)-1 ersetzen.
> Aber diesmal ja nicht zwei mal, sondern nur ein mal.
> Hätte dann also:
>
> (n+1)-1 + (n+1)(n+1) = ((n+1)+1)-1
> umformen ergibt
> (n+1) + (n+1)(n+1) -1 = (n+2)-1
> jetzt steht weiter in der Lösung:
> (n+1) * (1+(n+1) -1 = (n+2)-1
> Wie wurde das denn jetzt so umgeformt? Warum wird aus dem
> [color=red]+ ein *? [/color]
> (n+1)(n+2)-1 = (n+2)-1
> (n+2)-1 = (n+2)-1
> Sodass der Induktionsbeweis gegeben ist. Aber wo ist das
> (n+1) auf der rechten seite hin? verschollen? vom schwarzen
> Loch verschluckt?
>
> Danke schon mal :)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:26 Do 07.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> nutze unseren Editor, so kann das kein Mensch lesen ...
>
>
> > [mm]\summe_{k=1}^{n}[/mm] kk =! (n+1)-1
>
> Was steht in der Summe? "Kacka"
Hallo schachuzipus,
schau mal hier
http://gesichterparty.de/index.php?modul=group&group_id=151074.
Für Eulalia ist auch Deutsch ziemlich kacka.
Gruß FRED
> oder [mm]k\cdot{}k[/mm], also [mm]k^2[/mm]
>
> Und [mm]=![/mm] soll [mm]\neq[/mm] heißen?
>
> Und rechterhand steht [mm](n+1)-1[/mm], was [mm]=n[/mm] ist ...
>
> > Zuerst setze ich ja für n wieder 1 ein.
> >
> > Dann für n = (n+1)
> >
> > --> [mm]\summe_{k=1}^{n+1}[/mm] kk =! ((n+1)+1)-1
> > [mm]\summe_{k=1}^{n+1}[/mm] kk = [mm]\summe_{k=1}^{n}[/mm] kk +
> (n+1)(n+1)
> > Muss ich also nicht nur (n+1) rechnen, sondern
> (n+1)(n+1),
> > [color=red]weil ich k * k habe?[/color]
> > Weiterhin würde ich ja dann kk durch (n+1)-1 ersetzen.
> > Aber diesmal ja nicht zwei mal, sondern nur ein mal.
> > Hätte dann also:
> >
> > (n+1)-1 + (n+1)(n+1) = ((n+1)+1)-1
> > umformen ergibt
> > (n+1) + (n+1)(n+1) -1 = (n+2)-1
> > jetzt steht weiter in der Lösung:
> > (n+1) * (1+(n+1) -1 = (n+2)-1
> > Wie wurde das denn jetzt so umgeformt? Warum wird aus
> dem
> > [color=red]+ ein *? [/color]
> > (n+1)(n+2)-1 = (n+2)-1
> > (n+2)-1 = (n+2)-1
> > Sodass der Induktionsbeweis gegeben ist. Aber wo ist
> das
> > (n+1) auf der rechten seite hin? verschollen? vom
> schwarzen
> > Loch verschluckt?
> >
> > Danke schon mal :)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:26 Do 07.11.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
wie schon gesagt, können wir nicht lesen, was du zeigen willst, es sieht aber so aus als machtest du bei der Induktion denselben Fehler wie in deinem anderen post. Schreibe klar auf:
1. für n=1
2. Ind. Vors.
3. Ind,Behauptung
dann geh von der Ind.vors aus und zeige daraus die Ind,Behauptung.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:47 Do 07.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> [mm]\summe_{k=1}^{n}[/mm] kk =! (n+1)-1
Die Aufagbe lautet so:
Zeige: [mm] $\summe_{k=1}^{n}k*k!=(n+1)!-1$ [/mm] für jedes n [mm] \in \IN.
[/mm]
Weil ich heute meinen großzügigen Tag habe und weil Du mit dem Beweisverfahren "vollständige Induktion" ziemlich auf Kriegsfuß stehst, zeige ich Dir an obigem Beispiel, wie man solche Beweise macht.
O.K., ich bin mir im klaren darüber, dass ich damit gegen die Forenregeln handele. Die anwesenden Moderatoren mögen mich steinigen.
1. Induktionsanfang: hier zeigt man, dass die obige Formel für n=1 richtig ist.
Für n=1 steht links $1*1!$, also 1 und rechts 2!-1, also auch 1. Prima, das wäre erledigt.
2. Induktionsvoraussetzung (IV):
für ein n [mm] \in \IN [/mm] gelte [mm] $\summe_{k=1}^{n}k*k!=(n+1)!-1$ [/mm] .
3. Induktionsschritt: hier zeigt man, dass die obige Formel auch für n+1 stimmt (unter der IV)
[mm] $\summe_{k=1}^{n+1}k*k!=\summe_{k=1}^{n}k*k! [/mm] +(n+1)(n+1)!=(n+1)!-1+(n+1)(n+1)!=(n+1)!*[1+(n+1)]-1=(n+1)!*(n+2)-1=(n+2)!-1$
Fertig !
FRED
|
|
|
| |
|
Erst mal vielen, vielen Dank für deine Mühe. :)
$ [mm] \summe_{k=1}^{n+1}k\cdot{}k!=\summe_{k=1}^{n}k\cdot{}k! +(n+1)(n+1)!=(n+1)!-1+(n+1)(n+1)!=(n+1)!\cdot{}[1+(n+1)]-1=(n+1)!\cdot{}(n+2)-1=(n+2)!-1 [/mm] $
Warum kann ich da auf einmal aus
(n+1)! - 1 + (n+1)(n+1)!
folgendes machen:
(n+1)! [mm] \cdot{}[1+(n+1)]-1 [/mm] ?
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Erst mal vielen, vielen Dank für deine Mühe. :)
>
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n+1}k\cdot{}k!=\summe_{k=1}^{n}k\cdot{}k! +(n+1)(n+1)!=(n+1)!-1+(n+1)(n+1)!=(n+1)!\cdot{}[1+(n+1)]-1=(n+1)!\cdot{}(n+2)-1=(n+2)!-1[/mm]
>
> Warum kann ich da auf einmal aus
> (n+1)! - 1 + (n+1)(n+1)!
> folgendes machen:
> (n+1)! [mm]\cdot{}[1+(n+1)]-1[/mm] ?
Na, einfach ausklammern! In kleinen Schritten:
[mm](n+1)!-1+(n+1)(n+1)! \ = \ \red{[(n+1)!+(n+1)\cdot{}(n+1)!]}-1[/mm] einfach kommutativ die -1 nach hinten gepackt.
Nun in der eckigen Klammer ausklammern:
[mm]=[(n+1)!\cdot{}(1+(n+1))]-1[/mm] ...
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:00 Do 07.11.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
AB*AC=A*(B+C)
jetzt musst du noch sehen, was bei dir A,B,C ist.
man kann eine Behauptung auch mal überprüfen, indem man die Klammer auflöst.
Gruss leduart
|
|
|
|
