Induktion Diagonalen im n-Eck < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:47 Mi 26.11.2008 | | Autor: | ninime |
| Aufgabe | | Stellen sie eine Formel für die Anzahl der Diagonalen im n-Eck (n>3) auf und beweisen sie diese mit Hilfe der vollständigen Induktion. |
Hallo,
also die Formel hab ich aufgestellt:
D(n)= [mm] \bruch{1}{2}(n(n-3))
[/mm]
Die müsste auch richtig sein. Nun finde ich den Induktionsanfang nicht. Ich müsste dafür dann ja ermutlich n=4 setzen, dann habe ich
D(4)= 4/2 = 2
das ist koreckt für ein Viereck...reicht das denn für den Induktionsanfang und wie muss ich jetzt weiter vorgehen.
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Gruß, ninime
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:01 Mi 26.11.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Stellen sie eine Formel für die Anzahl der Diagonalen im
> n-Eck (n>3) auf und beweisen sie diese mit Hilfe der
> vollständigen Induktion.
> Hallo,
>
> also die Formel hab ich aufgestellt:
> D(n)= [mm]\bruch{1}{2}(n(n-3))[/mm]
>
> Die müsste auch richtig sein. Nun finde ich den
> Induktionsanfang nicht. Ich müsste dafür dann ja ermutlich
> n=4 setzen, dann habe ich
> D(4)= 4/2 = 2
> das ist koreckt für ein Viereck...reicht das denn für den
> Induktionsanfang
Naja, eine Begründung, das jedes Viereck zwei Diagonalen hat, sollte noch her.
> und wie muss ich jetzt weiter vorgehen?
Jetzt kannst du dir mal ein n-Eck nehmen, und mit
[mm] D(n)=\bruch{n(n-3)}{2}=\bruch{n²-3n}{2} [/mm] die Anzahl der Ecken bestimmen. Wenn du jetzt eine Ecke mehr dazufügst, kannst du diese mit allen n "alten Ecken" verbinden, zwei der Verbindungslinien sind aber Aussenkanten des neuen Vierecks, also gibt es n-2 neue Diagonalen
Also zeige mal, dass
[mm] D(n+1)=D(n)+(n-2)=...=\bruch{n²-n-2}{2}=\bruch{n²+2n+1-3n-3}{2}=\bruch{(n+1)²-3(n+1)}{2},
[/mm]
unter der Induktionsvoraussetzung [mm] D(n)=\bruch{n²-3n}{2}
[/mm]
>
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
>
> Gruß, ninime
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:36 Mi 26.11.2008 | | Autor: | ninime |
Hey, danke erstmal
ich wollte jetzt zeigen, dass
D(n+1)=D(n)+(n-2) ist, drehe mich aber dabei nur im Kreis, ich habe so gerechnet:
D(n+1)=D(n)+(n-2)
[mm] \bruch{(n+1)^2 - 3(n+1)}{2}=\bruch{n^2-3n}{2}+(n-2) [/mm]
[mm] \bruch{n^2-3n}{2}+1=\bruch{n^2-3n}{2}+(n-2)
[/mm]
Wahrscheinlich total sinnlos meine Rechnung  aber ich steh total aufm Schlauch und muss das bis morgen fertig haben :-(
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Der Tipp von M.Rex ist nicht ganz richtig:
Wenn du ein fertiges n-Eck mit eingezeichneten Diagonalen hast und nun eine weitere Ecke X - sagen wir zwischen Eckpunkte A und B - hinzufügst, geschieht folgendes:
Verbinde X mit allen anderen n Eckpunkten, das gibt n neue Verbindungslinien.
Die beiden Verbindungen zu A und B sind Nachbarkanten und zählen nicht als Diagonalen, also bleiben n-2 Kanten.
Die bisherige Verbindung AB war eine Kante, wird jetzt aber zu einer Diagonalen, weil A und B nicht mehr benachbart sind, denn X liegt dazwischen. Also hast du nun n-1 Diagonale mehr als zuvor, nicht n-2!
Somit: D(n+1)=D(n)+(n-1)
[mm]\bruch{(n+1)^2 - 3(n+1)}{2}=\bruch{n^2-3n}{2}+(n-1) |*2[/mm]
[mm](n+1)^2 - 3(n+1)=n^2-3n+ 2(n-1) [/mm]
[mm]n^2 +2n + 1- 3n-3=n^2-3n+ 2n-2 [/mm]
[mm]n^2 - n - 2=n^2-n-2 [/mm]
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