Induktion Doppelsummen < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Es seien [mm] $+,\cdot$ [/mm] assoziative und kommutative Verknüpfungen auf einer Menge $X$; ferner gelte das Distributivgesetz:
[mm] $x\cdot(y+z)=x\cdot y+x\cdot z,\qquad x,y,z\in [/mm] X$.
Für jedes [mm] $i\in\IN$ [/mm] ( [mm] \IN [/mm] mit 0) seien [mm] $a_i,b_i\in [/mm] X$. Durch Induktion verifiziere man:
[mm] $\sum_{j=0}^m a_j\cdot\sum_{k=0}^n b_k=\sum_{0\le j\le m\atop 0\le k\le n}(a_j\cdot b_k),\qquad n,m\in\IN$.
[/mm]
Bei dieser Doppelsumme wird hierbei über alle möglichen Produkte [mm] $a_j\cdot b_k$ [/mm] in einer beliebigen Reihenfolge summiert. |
Guten Tag!
Ist die folgende Lösung korrekt?
Ohne Beschränkung der Allgemeinheit sei stets [mm] $m\le [/mm] n$.
[mm] \textbf{Induktionsanfang:} [/mm] Sei [mm] $n=n_0:=0$. [/mm] Dann folgt sofort $m=0$ und es gilt
[mm] $\sum_{j=0}^{m}a_j\cdot\sum_{k=0}^{n}b_k
[/mm]
[mm] =\sum_{j=0}^{0}a_j\cdot\sum_{k=0}^{0}b_k$
[/mm]
[mm] $=a_0\cdot b_0$
[/mm]
[mm] $=\sum_{0\le j\le 0\atop 0\le k\le 0}(a_j\cdot b_k)$
[/mm]
[mm] $=\sum_{0\le j\le m\atop 0\le k\le n}(a_j\cdot b_k)$.
[/mm]
[mm] \textbf{Induktionsschluss:} [/mm] Gelte für alle [mm] $l,m\le [/mm] n$, dass
[mm] $\sum_{j=0}^{m}a_j\cdot\sum_{k=0}^{l}b_k=\sum_{0\le j\le m\atop 0\le k\le l}(a_j\cdot b_k).$
[/mm]
Dann folgt
[mm] $\sum_{j=0}^{m}a_j\cdot\sum_{k=0}^{n+1}b_k$
[/mm]
[mm] $=\sum_{j=0}^{m}a_j\cdot\left(\sum_{k=0}^{n}b_k+b_{n+1}\right)$
[/mm]
[mm] $=\sum_{j=0}^{m}a_j\cdot\sum_{k=0}^nb_k+\sum_{j=0}^{m}a_j\cdot\sum_{k=0}^{0}b_{n+1}$
[/mm]
[mm] $=\sum_{0\le j\le m\atop 0\le k\le n}(a_j\cdot b_k)+\sum_{0\le j\le m\atop 0\le k\le 0}(a_j\cdot b_{n+1})$
[/mm]
[mm] $=\sum_{0\le j\le m\atop 0\le k\le n+1}(a_j\cdot b_{k})$.
[/mm]
Wäre nett, wenn mal jemand drüberschaute; die natürlichen Zahlen sind mir ein wenig abstrakt  . Vor allem der letzte Schritt macht mich Stutzen, ob das "erlaubt" ist.
Liebe Grüße und großen Dank
Lösung editiert
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:02 Do 03.01.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
Schon dein Induktionsanfang ist so falsch.aus n=0 folgt doch nicht m=0?
du musst fuer n=0 fuer alle m zeigen.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
Hallo,
Aber ich habe doch [mm] $m\le [/mm] n$ angenommen?
Liebe Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:26 Do 03.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> Aber ich habe doch [mm]m\le n[/mm] angenommen?
edit: Okay, das darfst Du doch, da die Multipl. kommutativ ist!
Dein Einwand ist damit gerechtfertigt und Leduarts Antwort stimmt
dahingehend nicht!
P.S. Was mich auf jeden Fall stört, ist, dass bei Dir in der letzten Summe
plötzlich ein [mm] $b_{\red{k+1}}$ [/mm] auftaucht...
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
Hallo
> Es seien [mm] $+,\cdot$ [/mm] assoziative und kommutative Verknüpfungen...
Geht das dann klar? Oder trotzdem nicht?
Und ist das zusammenfassen am Ende des Induktionsschrittes ok? Weil das wird ja so oder so in einer ähnlichen Art und Weise stattfinden müssen?
Liebe Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:31 Do 03.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo
>
> > Es seien [mm]+,\cdot[/mm] assoziative und kommutative
> Verknüpfungen...
>
> Geht das dann klar? Oder trotzdem nicht?
doch, dann geht das (ich hatte das eben falsch in Erinnerung).
> Und ist das zusammenfassen am Ende des Induktionsschrittes
> ok? Weil das wird ja so oder so in einer ähnlichen Art und
> Weise stattfinden müssen?
Ich hab' mir das - ehrlich gesagt - nicht genau angeguckt, aber warum
steht in der letzten Summe ein [mm] $b_{k\red{+1}}$? [/mm] Das passt doch
irgendwie nicht... Vielleicht ein Verschreiber?
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
> Hallo,
>
> > Hallo
> >
> > > Es seien [mm]+,\cdot[/mm] assoziative und kommutative
> > Verknüpfungen...
> >
> > Geht das dann klar? Oder trotzdem nicht?
>
> doch, dann geht das (ich hatte das eben falsch in
> Erinnerung).
>
> > Und ist das zusammenfassen am Ende des Induktionsschrittes
> > ok? Weil das wird ja so oder so in einer ähnlichen Art und
> > Weise stattfinden müssen?
>
> Ich hab' mir das - ehrlich gesagt - nicht genau angeguckt,
> aber warum
> steht in der letzten Summe ein [mm]b_{k\red{+1}}[/mm]? Das passt
> doch
> irgendwie nicht... Vielleicht ein Verschreiber?
>
> Gruß,
> Marcel
Hallo,
Oh ja stimmt, das macht keinen Sinn. Da wird ja dann bis n+2 summiert. Das ist dann ja auch [mm] \not=\mathcal{A}(n+1), [/mm] wie man es bei der Induktion braucht. Aber aus dem ausbleibenden Protest schließe ich, dass das Zusammenfassen ansonsten, wenn es $k$ heißt ok ist? Im Vergleich zum sonstigen Stil kam mir die Definition der Doppelsumme nämlich etwas unhandlich vor (einfach Summen sind rekursiv definiert).
Liebe Grüße
|
|
|
| |
|
> > Hallo,
> >
> > > Hallo
> > >
> > > > Es seien [mm]+,\cdot[/mm] assoziative und kommutative
> > > Verknüpfungen...
> > >
> > > Geht das dann klar? Oder trotzdem nicht?
> >
> > doch, dann geht das (ich hatte das eben falsch in
> > Erinnerung).
> >
> > > Und ist das zusammenfassen am Ende des Induktionsschrittes
> > > ok? Weil das wird ja so oder so in einer ähnlichen Art und
> > > Weise stattfinden müssen?
> >
> > Ich hab' mir das - ehrlich gesagt - nicht genau angeguckt,
> > aber warum
> > steht in der letzten Summe ein [mm]b_{k\red{+1}}[/mm]? Das passt
> > doch
> > irgendwie nicht... Vielleicht ein Verschreiber?
> >
> > Gruß,
> > Marcel
Hallo,
Oh ja stimmt, das macht keinen Sinn. Da wird ja dann bis
n+2 summiert. Das ist dann ja auch [mm]\not=\mathcal{A}(n+1),[/mm]
wie man es bei der Induktion braucht. Aber aus dem
ausbleibenden Protest schließe ich, dass das
Zusammenfassen ansonsten, wenn es [mm]k[/mm] heißt ok ist? Im
Vergleich zum sonstigen Stil kam mir die Definition der
Doppelsumme nämlich etwas unhandlich vor (einfach Summen
sind rekursiv definiert).
Liebe Grüße
Das war eigentlich auch als Frag egemeint, aber ich finde keine Funktion, um das zu ändern.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Sa 05.01.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
