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Forum "Uni-Analysis-Induktion" - Induktion Fibonacci Zahlen
Induktion Fibonacci Zahlen < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Induktion Fibonacci Zahlen: Hilfe zur Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:43 Do 28.10.2021
Autor: itsyunaaa

Aufgabe
Die Fibonacci-Zahlen1,1,2,3,5,...werden rekursiv definiert durch
a0 := 1, a1 := 1 und an+1 := an +an−1 fu ̈r n ≥ 1. Zeigen Sie mit vollständiger
Induktion, dass 1 ≤ an+1 ≤ 2 fu ̈r n ≥ 0.

Leider habe ich Schwierigkeiten beim Induktionsschritt. Der Induktionsanfang ist mir klar, aber allgemein zu beweisen wie es mit den folgenden zahlen aussieht, fällt mir noch unglaublich schwer. Kann das jemand erklären?

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Induktion Fibonacci Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:37 Do 28.10.2021
Autor: fred97


> Die Fibonacci-Zahlen1,1,2,3,5,...werden rekursiv definiert
> durch
>  a0 := 1, a1 := 1 und an+1 := an +an−1 fu ̈r n ≥ 1.
> Zeigen Sie mit vollständiger
>  Induktion, dass 1 ≤ an+1 ≤ 2 fu ̈r n ≥ 0.
>  Leider habe ich Schwierigkeiten beim Induktionsschritt.
> Der Induktionsanfang ist mir klar, aber allgemein zu
> beweisen wie es mit den folgenden zahlen aussieht, fällt
> mir noch unglaublich schwer. Kann das jemand erklären?


diese Aufgabe ist kompletter Unsinn

Zum Beispiel ist [mm] a_4=3. [/mm]

obige Folge ist eine streng wachsende Folge natürlicher Zahlen,  und damit unbeschränkt

>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.


Bezug
        
Bezug
Induktion Fibonacci Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:48 Do 28.10.2021
Autor: Fulla

Hallo itsyunaaa,

die Aufgabe ergibt so tatsächlich keinen Sinn. Wahrscheinlich sollst du die Aussage

    [mm] $1\le\frac{a_{n+1}}{a_n}\le [/mm] 2, [mm] \forall n\ge [/mm] 0$

beweisen.

Der Induktionsschritt sieht dann so aus, dass du

    [mm] $1\le \frac{a_{n+2}}{a_{n+1}}\le [/mm] 2$

zeigen musst.
Verwende dazu die Rekursionsvorschrift und natürlich die Induktionsvoraussetzung.

Hinweis: Aus [mm] $a\le\frac xy\le [/mm] b$ folgt [mm] $\frac 1b\le \frac yx\le\frac [/mm] 1a$.

Lieben Gruß
Fulla

Bezug
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