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Forum "Uni-Analysis-Induktion" - Induktion bei Textaufgabe
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Induktion bei Textaufgabe: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:28 Sa 14.11.2015
Autor: Manu271

Aufgabe
Auf dem Schulhof lässt ein Lehrer seine Schüler mit grünen und weißen Murmeln spielen. Jeder Schüler
bekommt am ersten Schultag eine Schüssel mit 15 grünen und 12 weißen Murmeln. Die Schüler müssen
gut auf ihre Murmeln aufpassen, denn sie können jeden Tag nur entweder 3 grüne gegen 2 weiße tauschen,
oder auf einmal alle grünen gegen weiße und alle weiße gegen grüne Murmeln tauschen. (hat die Schülerin
oder der Schüler m grüne und n weiße Murmeln, so hat sie oder er danach n grüne und m weiße Murmeln)
Der Lehrer verspricht den Schülern, dass jeder, der genau 5 grüne und 5 weiße Murmeln besitzt (und
keine Murmeln verloren hat), ein Stück Erdbeertorte bekommt.
Zeigen Sie durch Induktion über den Schultag, dass niemand (außer dem Lehrer) ein Stück Erdbeertorte
bekommt.
Hinweis: Betrachten Sie die Differenz der grünen und weißen Murmeln.

Hallo,

ich sitze seit knapp einer Woche an obiger Aufgabe, komme aber auf keinen richtigen Induktionsbeweis.
Das habe ich bisher herausgefunden:

Ich dachte mir:
1):= Tausch von 3 grünen(3g) gegen 2 weiße(2w) Murmeln
2):= Tausch aller Grünen gegen Weiße bzw. umgekehrt.
Nun muss ich ja beweisen, dass am Ende von den Tauschvorgängen niemand 5 grüne und 5 weiße haben kann, also die Differenz 0 ist.

Ausgangssituation: 15g und 12w, also ist die Diffferenz g-w= +3.
Wendet man jetzt 1) an so verringert sich die Differenz immer um 5.
Wenn man hingegen 2) anwendet, so wird die Differenz mit (-1) multipliziert.

Eine Beispielsgleichung bzgl. der Differenz für den Fall 1)->1)->2) wäre also:
((3-5)-5)*(-1)=7
Eine andere, für 2)->1)->2) wäre:
((3*(-1))-5)*(-1)=8.
Soweit bin ich also schon, jetzt muss ich nur noch zeigen das diese Terme für beliebige Anwendungen von 1) oder 2) nie 0 sein kann.

Noch eine Sache die mir aufgefallen ist:
Anfangs hat jeder eine Gesamtanzahl von 27 Murmeln, und jedes Mal wenn 1) angewendet wird, verringert sich die Anzahl der Murmeln um 1. Also muss ich zusätzlich berücksichtigen, dass nach genau 17 Anwendungen von 1) und n-Anwendungen von 2) niemand 5 grüne und 5 Weiße Murmeln haben kann. (Da ja die Gesamtzahl am Ende 5+5=10 betragen soll, und man mit 27 beginnt.)
Leider weiß ich ab hier nicht mehr weiter, da ich diese Aufgabe ja durch Induktion beweisen soll.

Das Problem ist wohl, dass ich es nicht schaffe die Textaufgabe in eine stimmige Ungleichung in Abhängigkeit von den Tauschaktionen 1) und 2) zu verpacken.
Sobald diese Gleichung steht, sollte die Induktion wohl einfach sein.
Wobei ich bisher nie Ungleichungen mit Induktion bewiesen habe, sondern nur einfache Gleichungen.

Ich hoffe ihr könnt mir den letzten Denkanstoß für diese Aufgabe geben!

LG

        
Bezug
Induktion bei Textaufgabe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:11 Sa 14.11.2015
Autor: hippias

Beweise mittels Induktion, dass die Differenz jeden Tag von der Gestalt [mm] $\pm [/mm] 3+5k$ für ein [mm] $k\in \IZ$ [/mm] ist.

Bezug
                
Bezug
Induktion bei Textaufgabe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:32 Sa 14.11.2015
Autor: Manu271

Vielen Dank für deine Antwort,
wie kamst du denn auf diese Idee und wie sieht dann die Gleichung aus, die ich per Induktion beweisen soll?

Es tut mir leid, wenn es offensichtlich ist, aber ich habe wohl noch nicht das Verständnis um so etwas sofort zu erkennen...

LG

Bezug
                        
Bezug
Induktion bei Textaufgabe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:05 Sa 14.11.2015
Autor: hippias

Eigentlich bist Du auf die Idee gekommen, nicht in. Tauschoption 1) ändert die Differenz um $5$; Option 2) dreht die Vorzeichen um. Wenn Du die $5$en zusammenfasst erhälst Du [mm] $\pm [/mm] 3+5k$.

Bezug
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