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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:35 So 23.03.2008 | | Autor: | LarsSon |
| Aufgabe | Bitte beweisen sie durch vollst. Induktion:
n²-2n-1 > 0 für n [mm] \ge [/mm] 3
Musterlösung:
Induktionsanfang: n=3: [mm] 3²-2\*3-1=2>0
[/mm]
Induktionsschluss:
(n+1)²-2(n+1)-1 = n²+2n+1-2n-2-1= n²-2 = (n²-2n-1) + (2n-1) > 2n - 1 > 0 für alle n [mm] \ge [/mm] 3 q.e.d. |
Hallo ;),
erstmal: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Also oben ist die Aufgabe samt Musterlösung und ich verstehe den Beweis bis zum rot markierten Teil (n²-2 hatte ich auch raus). Ich habe leider sehr grosse Probleme bei Induktion mit Ungleichungen und wollte fragen ob mir jemand den Gedankengang ab dem rot markierten Textteil erklären kann bzw. wie man darauf kommt. 2. Frage wäre: gibt es ein Schema wie ich an solche Aufgaben herangehe?
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Hallo LarsSon,
erstmal herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
> Bitte beweisen sie durch vollst. Induktion:
>
> n²-2n-1 > 0 für n [mm]\ge[/mm] 3
>
> Musterlösung:
>
> Induktionsanfang: n=3: [mm]3²-2\*3-1=2>0[/mm]
>
> Induktionsschluss:
>
> (n+1)²-2(n+1)-1 = n²+2n+1-2n-2-1= n²-2 = [mm] \red{ (n²-2n-1) + (2n-1)}
[/mm]
> > 2n - 1 > 0 für alle n [mm]\ge[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
3 q.e.d.
> Hallo ;),
>
> erstmal: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Also oben ist die Aufgabe samt Musterlösung und ich
> verstehe den Beweis bis zum rot markierten Teil (n²-2 hatte
> ich auch raus). Ich habe leider sehr grosse Probleme bei
> Induktion mit Ungleichungen und wollte fragen ob mir jemand
> den Gedankengang ab dem rot markierten Textteil erklären
> kann bzw. wie man darauf kommt.
Da wurde die Induktionsvoraussetzung benutzt.
Die lautet ja: Die Beh. gilt für ein beliebiges, aber festes $n\in\IN, n\ge 3$
Also iZ.: Gelte $\red{n^2-2n-1>0$ für ein beliebiges, aber festes $n\in\IN, n\ge 3$
Dann muss ja im eigentlichen Induktionsbeweis gezeigt werden, dass dann (also unter genau dieser Induktionsvoraussetzung) gefälligst die Beh. auch für $n+1$ gilt, dass also $(n+1)^2-2(n+1)-1>0$ ist
Dazu nimmt man sich die linke Seite her und formt sie so um, dass man die Induktionsvoraussetzung einbauen kann, das wurde hier gemacht:
$(n+1)^2-2(n+1)-1=n^2+2n+1-2n-2-1=\red{n^2-2n-1}+2n-1$
Nun kannst du auf den roten Teil die Induktiuonsvoraussetzung anwenden, der rote Teil ist nach Ind.vor. >0, also
$\red{n^2-2n-1}+2n-1>\red{0}+2n-1=2n-1$
Nun ist aber $n\ge 3$, also ist $2n\ge 6$ und damit auch $2n-1\ge 5>0$
Was zu zeigen war
2. Frage wäre: gibt es ein
> Schema wie ich an solche Aufgaben herangehe?
Wie oben, ob du ne Ungleichung oder Gleichung zeigen musst, ist egal, das Schema ist dasselbe.
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:30 So 23.03.2008 | | Autor: | LarsSon |
Hallo :)
vielen Dank für die BEgrüssung und die fixe Antwort! Kann ich das denn zum Schluss am kleinsten N zeigen? also dass 2n-1 > 0 ist für n=3 ? ich dachte dass ich beweisen muss, dass das für n+1 der fall ist! oder geht das mit umformen bis dorthin und dann einsetzen?
vielen dank!
Lars
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Hallo Lars,
> Hallo :)
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> vielen Dank für die BEgrüssung und die fixe Antwort! Kann
> ich das denn zum Schluss am kleinsten N zeigen? also dass
> 2n-1 > 0 ist für n=3 ? ich dachte dass ich beweisen muss,
> dass das für n+1 der fall ist! oder geht das mit umformen
> bis dorthin und dann einsetzen?
Ich denke, dass für [mm] $n\ge [/mm] 3$ die Abschätzung $2n-1>0$ doch so trivial ist (s. Anmerkung dazu oben), dass das so wie oben in Ordung geht.
Streng genommen, kannst du die "Unteraussage", die man da am Schluss benötigt, also $2n-1>0$ für [mm] $n\ge [/mm] 3$ nochmal separat per Induktion zeigen.
Das bringt aber keinerlei teife Erkenntnisse, denn, wie oben gesagt, ist mit [mm] $n\ge [/mm] 3$ halt [mm] $2n\ge [/mm] 6$, also stets [mm] $2n-1\ge [/mm] 5$ und damit erst recht $ > 0$
Für das "kleinste" $n=3$ ist das schon erfüllt, für größere $n$ wächst $2n$ streng monoton, du ziehst immer konstant 1 ab, also naja .. 
Ich denke, der "Hauptschritt" in dem ursprünglichen Induktionsbeweis besteht darin, die für $n+1$ zu zeigende Aussage so umzuformen, dass man die Induktionsvoraussetzung, nämlich die Gültigkeit der Aussage für $n$ verwenden kann.
> vielen dank!
> Lars
Bis dann
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:49 So 23.03.2008 | | Autor: | LarsSon |
Hallo,
vielen dank für deine Hilfe :)
Lars
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