Induktion einer Ungleichung < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:24 Mo 08.11.2010 | | Autor: | maba |
| Aufgabe | Beweisen Sie mit Induktion:
Für [mm] x_{1}, \cdots,x_{n} [/mm] mit [mm] x_{k}\ge0 [/mm] für alle [mm] k\in\{1,\cdots,n\} [/mm] gilt
[mm] \produkt_{k=1}^{n}(1+x_{k})\ge1+\summe_{k=1}^{n}x_{k} [/mm] |
Hallo,
leider fehlen mir bei dieser Aufgabe komplett die Ideen.
Ich weiß einfach nicht wie es funktionieren könnte.
Sicher ist mir klar, dass die Aussage stimmt aber wie soll ich es Beweisen?
Wäre für jeden Tipp oder Ansatz dankbar,
bis dann maba
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:49 Mo 08.11.2010 | | Autor: | Lyrn |
> Beweisen Sie mit Induktion:
> Für [mm]x_{1}, \cdots,x_{n}[/mm] mit [mm]x_{k}\ge0[/mm] für alle
> [mm]k\in\{1,\cdots,n\}[/mm] gilt
>
> [mm]\produkt_{k=1}^{n}(1+x_{k})\ge1+\summe_{k=1}^{n}x_{k}[/mm]
>
> Hallo,
>
> leider fehlen mir bei dieser Aufgabe komplett die Ideen.
> Ich weiß einfach nicht wie es funktionieren könnte.
> Sicher ist mir klar, dass die Aussage stimmt aber wie soll
> ich es Beweisen?
Naja, wie schon da steht sollst du es mit Induktion beweisen. Das heißt du fängst an mit
Induktionsanfang: n=1
[mm]\produkt_{k=1}^{1}(1+x_{1})=(1+x_{1})
\ge
1+\summe_{k=1}^{1}x_{1}=1+x_{1}[/mm]
Diese Aussage ist natürlich war, also:
Induktionsvorraussetzung: Für ein beliebiges, aber festes n gilt: [mm]\produkt_{k=1}^{n}(1+x_{k})\ge1+\summe_{k=1}^{n}x_{k}[/mm]
Jetzt machst du den Induktionsschritt, also n [mm] \to [/mm] n+1
> Wäre für jeden Tipp oder Ansatz dankbar,
> bis dann maba
viel erfolg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:07 Mo 08.11.2010 | | Autor: | maba |
Vielen Dank für die Antwort,
allerdings komme ich beim I.-Schritt jetzt auch nicht wirklich weiter, denn
wenn ich
[mm] \produkt_{k=1}^{n+1}(1+x_{k})=(\produkt_{k=1}^{n}(1+x_{k}))(1+x_{n+1})
[/mm]
und
[mm] 1+\summe_{k=1}^{n+1}x_{k}=1+(\summe_{k=1}^{n}x_{k})+x_{n+1}
[/mm]
also
[mm] (\produkt_{k=1}^{n}(1+x_{k}))(1+x_{n+1})\ge1+(\summe_{k=1}^{n}x_{k})+x_{n+1}
[/mm]
habe, wie mache ich dann weiter?
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Vielen Dank für die Antwort,
allerdings komme ich beim I.-Schritt jetzt auch nicht wirklich weiter, denn
wenn ich
$ [mm] \produkt_{k=1}^{n+1}(1+x_{k})=(\produkt_{k=1}^{n}(1+x_{k}))(1+x_{n+1}) [/mm] $
kann man noch ausmultiplizieren
= [mm] \produkt_{k=1}^{n}(1+x_{k}) [/mm] + [mm] x_{n+1}* \produkt_{k=1}^{n}(1+x_{k})
[/mm]
und
Ich glaube hier liegt der Fehler, man muss auf beiden Seiten der Ungleichung mit [mm] (1+x_{k+1}) [/mm] multiplizieren:
[mm] (1+\summe_{k=1}^{n+1}x_{k})*(1+x_{n+1})
[/mm]
wieder ausmultiplizieren und dann mit Hilfe der IV vergleichen.
Ich glaube das funktioniert dann.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:43 Mo 08.11.2010 | | Autor: | maba |
Und einen anderen Weg gibt es nicht? Der Ansatz erscheint mir etwas zu abstrakt
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:53 Mo 08.11.2010 | | Autor: | Loddar |
hallo maba!
Du musst innerhalb des Induktionsschrittes die Induktionsvoraussetzung verwenden:
[mm] \produkt_{k=1}^{n+1}(1+x_{k}) \ = \ \left(\blue{\produkt_{k=1}^{n}(1+x_{k})}\right)*(1+x_{n+1}) \ \blue{\ge} \ \left(\blue{1+\summe_{k=1}^{n}x_{k}}}\right)*(1+x_{n+1})[/mm]
Nun noch ausmultiplizieren und du bist so gut wie fertig.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:13 Mo 08.11.2010 | | Autor: | maba |
Danke für die Antwort! Aber warum multipliziert man auf beiden Seiten? Müsste auf der rechten Seite nicht [mm] x_{n+1} [/mm] addiert werden?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:17 Mo 08.11.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo maba!
Ich habe hier nichts von "beide Seiten multiplizieren" gesagt oder getan.
Ich habe lediglich zu Beginn das Produkt [mm]\produkt_{k=1}^{n+1}(...)[/mm] zerlegt in [mm]\produkt_{k=1}^{n}(...)*\produkt_{k=n+1}^{n+1}(...)[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:39 Mo 08.11.2010 | | Autor: | maba |
Hallo,
also das mit der Zerlegung habe ich ja verstanden, was ich allerdings nicht verstanden habe, ist warum [mm] *\produkt_{k=n+1}^{n+1}(...) [/mm] auf beiden Seiten der Ungleichung auftaucht.
So sieht es bei mir aus:
[mm] (\produkt_{k=1}^{n}(1+x_{k}))(1+x_{n+1})\ge1+(\summe_{k=1}^{n}x_{k})+x_{n+1}
[/mm]
und so bei dir
[mm] (\produkt_{k=1}^{n}(1+x_{k}))(1+x_{n+1})\ge(1+(\summe_{k=1}^{n}x_{k}))(1+x_{n+1}) [/mm]
bzw.
[mm] (\produkt_{k=1}^{n}(1+x_{k}))*\produkt_{k=n+1}^{n+1}(...)\ge(1+(\summe_{k=1}^{n}x_{k}))*\produkt_{k=n+1}^{n+1}(...)
[/mm]
muss ich n+1 nur auf einer Seite einsetzten oder auf beiden? Ich habe es wie oben zu sehen auf beiden Seiten gemacht.
Wenn ich es nur auf der Seite mit dem Produkt mache, kann ich dort dann zerlegen, das ist klar aber was mache ich dann mit der Summe bzw warum nehme ich die Summe dann mit dem "abgeschnittenen Teil" mal?
Tut mir Leid ich stehe heute Abend glaub ich aufm Schlauch.
Gruß maba
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:47 Mo 08.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
beantwortet in der anderen Antwort.
Du hast doch nur die Ind. Beh. Aufgeschrieben, keinen Beweisanfang.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:50 Mo 08.11.2010 | | Autor: | maba |
Egal,
ich raffe es nicht und komme mit den Antworten nicht weiter.
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Du hättest das ganze auch über die Summe angehen können, dann hättest du auf beiden Seiten [mm] x_{n+1} [/mm] addiert und mit Hilfe der IV verglichen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:16 Mo 08.11.2010 | | Autor: | maba |
Hallo,
ok ich erkenne da einfach keinen Zusammenhang mit meiner IV, ich weiß nicht worauf ihr hinaus wollt tut mir Leid.
Was muss ich denn tun auf beiden Seiten mit n+1 nur auf einer oder wie soll ich vorgehen.
Maba
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:23 Mo 08.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du fängst an, mit dem was du weisst, der Ind. Vors. an.
Die mult. du auf beiden Seiten mir [mm] 1+x_{n+1} [/mm] dann ist die Ungl nach Vors immer noch richtig.aber links steht schon die Formel für n+1
jetzt musst du die rechte Seite mit = oder [mm] \ge [/mm] noch auf die Behauptung bringen.
Gruss leduart
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