Induktion einer Ungleichung < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:50 Sa 20.11.2010 | | Autor: | Mousegg |
Hallo ich verzweifle grade an folgender Aufgabe:
Man beweise mittels vollständiger Induktion für alle n [mm] \ge [/mm] 1
[mm]\produkt_{i=1}^{n} \bruch{2n-1}{2n} \le \bruch{1}{\wurzel{3n+1}} [/mm]
Bisher bin ich soweit gekommen:
IA: für n=1
[mm] \bruch{2*1-1}{2*1} \le \bruch{1}{\wurzel{3*1+1}} [/mm]
[mm] \Rightarrow \bruch{1}{2} \le \bruch{1}{\{2}}
[/mm]
IV:
[mm]\produkt_{i=1}^{n} \bruch{2i-1}{2i} \le \bruch{1}{\wurzel{3n+1}} [/mm]
IS:
[mm][mm] \produkt_{i=1}^{n+1} \bruch{2i-1}{2i} [/mm] = [mm] \produkt_{i=1}^{n+1} \bruch{2i-1}{2i} [/mm] * [mm] \bruch{2(n+1)-1}{2(n+1)}\le [/mm] IV: [mm] \bruch{1}{\wurzel{3n+1}} [/mm] * [mm] \bruch{2(n+1)-1}{2(n+1)} [/mm]
Reicht es jetzt wenn man zeigt dass folgendes gilt oder wie führt man den Induktionsschluss?
[mm]\bruch{1}{\wurzel{3n+1}} * \bruch{2(n+1)-1}{2(n+1)} \le \bruch{1}{\wurzel{3(n+1)+1}} [/mm]
oder wie führt man den Induktionsschluss?
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Hallo,
> Hallo ich verzweifle grade an folgender Aufgabe:
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> Man beweise mittels vollständiger Induktion für alle n
> [mm]\ge[/mm] 1
> [mm]\produkt_{i=1}^{n} \bruch{2n-1}{2n} \le \bruch{1}{\wurzel{3n+1}}[/mm]
Im Produkt sollte [mm]\frac{2\red{i}-1}{2\red{i}}[/mm] stehen!
>
> Bisher bin ich soweit gekommen:
>
> IA: für n=1
> [mm]\bruch{2*1-1}{2*1} \le \bruch{1}{\wurzel{3*1+1}}[/mm]
> [mm]\Rightarrow \bruch{1}{2} \le \bruch{1}{\{2}}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> IV:
> [mm]\produkt_{i=1}^{n} \bruch{2i-1}{2i} \le \bruch{1}{\wurzel{3n+1}}[/mm]
>
> IS:
> [mm]\produkt_{i=1}^{n+1} \bruch{2i-1}{2i}[/mm] = [mm]\produkt_{i=1}^{n+1} \bruch{2i-1}{2i}[/mm] * [mm]\bruch{2(n+1)-1}{2(n+1)}\le[/mm] IV: [mm]\bruch{1}{\wurzel{3n+1}}[/mm] * [mm]\bruch{2(n+1)-1}{2(n+1)}[/mm]
Reicht es jetzt wenn man zeigt dass folgendes gilt oder wie führt man den Induktionsschluss?
[mm]\bruch{1}{\wurzel{3n+1}} * \bruch{2(n+1)-1}{2(n+1)} \le \bruch{1}{\wurzel{3(n+1)+1}}[/mm]
Ja, genau das bleibt zu zeigen (bzw. abzuschätzen ...)
> oder wie führt man den Induktionsschluss?
Bisher alles i.O.!
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:22 Sa 20.11.2010 | | Autor: | Mousegg |
erstmal danke für die schnelle Hilfe ^^
also gut dann form ich das ganze mal um
[mm] \bruch{1}{\wurzel{3n+1}} *\bruch{2n+1}{2n+2} \le \bruch{1}{\wurzel{3n+4}}
[/mm]
[mm] \bruch{2n+1}{\wurzel{3n+1}*\wurzel{4 n^2 +8n+4}} \le \bruch{1}{\wurzel{3n+4}}
[/mm]
[mm] \bruch{2n+1}{2n^3 +28n^2+20n+4} \le \bruch{1}{\wurzel{3n+4}} [/mm] /Quadrieren
[mm] \bruch{4n^2 +4n +1}{2n^3 +28 n^2+ 20n +4} \le \bruch{1}{3n+4}
[/mm]
[mm] \bruch{12n^3+28n^2+19n+4}{12n^3+28n^2+20n+4} \le [/mm] 1
19n [mm] \le [/mm] 20n
hab ich denn hiermit die Behauptung bewiesen ?
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Hallo Mousegg,
außer dass Du beim Abschreiben ein paar Zeichen "geschlabbert" hast, sieht die Rechnung gut aus.
> erstmal danke für die schnelle Hilfe ^^
> also gut dann form ich das ganze mal um
>
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{3n+1}} *\bruch{2n+1}{2n+2} \le \bruch{1}{\wurzel{3n+4}}[/mm]
>
> [mm]\bruch{2n+1}{\wurzel{3n+1}*\wurzel{4 n^2 +8n+4}} \le \bruch{1}{\wurzel{3n+4}}[/mm]
>
> [mm]\bruch{2n+1}{\wurzel{\red{1}2n^3 +28n^2+20n+4}} \le \bruch{1}{\wurzel{3n+4}}[/mm]
Hier fehlte auch die linke Wurzel. Keine Ahnung, wie man nur das Wurzelzeichen einfärbt...
> /Quadrieren
>
> [mm]\bruch{4n^2 +4n +1}{\red{1}2n^3 +28 n^2+ 20n +4} \le \bruch{1}{3n+4}[/mm]
>
> [mm]\bruch{12n^3+28n^2+19n+4}{12n^3+28n^2+20n+4} \le[/mm] 1
>
> 19n [mm]\le[/mm] 20n
>
> hab ich denn hiermit die Behauptung bewiesen ?
Ja, hast Du.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:42 Sa 20.11.2010 | | Autor: | Mousegg |
Ok super vielen dank nochmal ich war zuerst nur ein wenig geschockt von dem "Ungleich" zeichen ^^
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:13 Sa 20.11.2010 | | Autor: | ms2008de |
Hallo,
Die Aufgabe kommt mir recht bekannt vor: Aufgabe.
Viele Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:26 Sa 20.11.2010 | | Autor: | Mousegg |
Sehr interessant ^^ aber gut das ich nichtd er einzige bin der sich bei der Aufagbe unsicher ist ^;)
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