Induktion für Ableitung < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 18:17 Do 10.11.2005 | | Autor: | GetBack |
Hallo Leute,
ich hab da ein Problem mit folgender Aufgabe (ich schreib einfach mal, was ich schon gemacht habe).
Beweis durch vollständige Induktion über n von [mm] {d^n \over dx^n} \left(x^2 -1 \right)^n = 2^n \cdot n! [/mm] für [mm] x=1 [/mm]
IA: n=1: [mm] {d \over dx} \left(x^2 -1 \right) = 2x [/mm] dann folgt für [mm] x=1: \quad 2=2^1 \cdot 1! [/mm]
IV: [mm] {d^n \over dx^n} \left(x^2 -1 \right)^n = 2^n \cdot n! [/mm] für [mm] x=1 [/mm] gelte für ein [mm] n \in \mathbb{N} [/mm].
IS:
[mm] {d^{n+1} \over dx^{n+1}} \left(x^2 -1 \right)^{n+1} = {d^{n+1} \over dx^{n+1}} \left( \sum_{k=0}^{n+1} {(-1)^k {n+1 \choose k} x^{2(n+1-k)}} \right)[/mm]
[mm]= {d^{n} \over dx^{n}} \left( {d \over dx} \left( \sum_{k=0}^{n+1} {(-1)^k {n+1 \choose k} x^{2(n+1-k)}} \right) \right)[/mm]
[mm]= {d^{n} \over dx^{n}} \left( \sum_{k=0}^{n} {(-1)^k {n+1 \choose k} \cdot 2(n+1-k) \cdot x^{2(n+1-k)-1}} \right)[/mm]
[mm]= 2 (n+1) \cdot {d^{n} \over dx^{n}} \left( \sum_{k=0}^{n} {(-1)^k {n \choose k} x^{2(n-k)+1}} \right) [/mm]
Wie man sieht, habe ich in der Summe ein x zuviel! Gehe ich an das Problem falsch heran oder fehlt mir einfach noch ein Schritt?
Bewiesen habe ich schon, dass [mm] {d^j \over dx^j} \left(x^2 -1 \right)^n = 0 [/mm] für [mm] 0 \le j < n, x=1 [/mm]. Aber das bringt mich auch nicht weiter.
Vielen Dank im Voraus
GetBack
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:32 Do 10.11.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo GetBack!
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Gruß
Loddar
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